Um sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que compartilham as mesmas variáveis.
O objetivo é encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Focaremos nos sistemas lineares — formados por equações do primeiro grau.
Geometricamente, cada equação linear representa uma reta (em 2 variáveis) ou um plano (em 3 variáveis),
e a solução do sistema é o ponto de interseção entre elas.
Exemplo de sistema
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 6 \\
x - y = 2
\end{cases}
\]
Solução Única
Sistema consistente e independente. Existe exatamente um conjunto de valores
que satisfaz todas as equações. As retas se cruzam em um único ponto.
Infinitas Soluções
Sistema consistente e dependente. As equações representam a mesma reta —
são múltiplos uma da outra. Qualquer ponto da reta é solução.
Nenhuma Solução
Sistema inconsistente. As equações representam retas paralelas que nunca se cruzam.
Não existe valor que satisfaça todas as equações.
Isola-se uma das variáveis em uma das equações e substitui-se na outra.
Recomendado quando uma das variáveis tem coeficiente 1 ou é fácil de isolar.
Exemplo
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \quad \text{(1)} \\
2x - y = 4 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]
1
Escolher a equação (1) e isolar \(x\):
\(x + y = 5 \implies x = 5 - y\)
2
Substituir \(x = 5 - y\) na equação (2):
\(2(5 - y) - y = 4\)
\(10 - 2y - y = 4\)
\(-3y = 4 - 10 = -6\)
\(y = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
3
Substituir \(y = 2\) em \(x = 5 - y\):
\(x = 5 - 2 = 3\)
Solução: \(x = 3\) e \(y = 2\)
Multiplica-se uma ou ambas as equações por constantes de modo que, ao somá-las,
uma das incógnitas seja eliminada. Útil quando os coeficientes de uma variável
já são opostos (ou facilmente tornam-se opostos).
Exemplo
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \quad \text{(1)} \\
x - y = 1 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]
1
Observar que os coeficientes de \(y\) são \(+1\) e \(-1\) — já opostos.
Basta somar as equações diretamente:
\((2x + y) + (x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6 \implies x = 2\)
2
Substituir \(x = 2\) na equação (2):
\(2 - y = 1 \implies y = 1\)
Solução: \(x = 2\) e \(y = 1\)
Quando os coeficientes não são opostos
Multiplique uma (ou ambas) as equações por uma constante para tornar os coeficientes
de uma variável opostos em módulo, e então some as equações para eliminá-la.
Isola-se a mesma variável nas duas equações e igualam-se as expressões obtidas,
reduzindo o sistema a uma única equação com uma incógnita.
Exemplo
\[
\begin{cases}
7x + y = 140 \quad \text{(1)} \\
-8x + y = -145 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]
1
Isolar \(y\) na equação (1):
\(y = 140 - 7x\)
2
Isolar \(y\) na equação (2):
\(y = -145 + 8x\)
3
Igualar as duas expressões e resolver:
\(140 - 7x = -145 + 8x\)
\(-7x - 8x = -145 - 140\)
\(-15x = -285\)
\(x = \dfrac{285}{15} = 19\)
4
Substituir \(x = 19\) em \(y = 140 - 7x\):
\(y = 140 - 7 \cdot 19 = 140 - 133 = 7\)
Solução: \(x = 19\) e \(y = 7\)
