Intermediário
Potenciação
Estude a potenciação e suas propriedades: produto e quociente de mesma base, potência de potência, expoente zero e negativo. Base essencial para logaritmos, notação científica e equações exponenciais.
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Def
Definição
Multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo
A potenciação representa a multiplicação sucessiva de um número
por ele mesmo. \(a\) é a base, \(n\) é o expoente
e o resultado é a potência.
\[\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\;\text{vezes}}\]
Exemplos numéricos
\(4^2 = 4 \cdot 4 = 16\) (ao quadrado)
\(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\) (ao cubo)
\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
Exemplos algébricos
\((x-2)^2 = (x-2)\cdot(x-2)\)
\((3x)^2 = 3x \cdot 3x = 9x^2\)
±
Regra dos Sinais na Base
Base negativa e a distinção de \(-a^n\) vs \((-a)^n\)
Base negativa: o resultado depende da paridade do expoente.
Expoente par → resultado positivo.
Expoente ímpar → resultado negativo.
Expoente par → resultado positivo.
Expoente ímpar → resultado negativo.
Exemplos — base negativa
\((-2)^4 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\)
\(= +16\) (expoente par → positivo)
\((-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\)
\(= -8\) (expoente ímpar → negativo)
Atenção — \(-a^n\) é diferente de \((-a)^n\)
O sinal fora dos parênteses não faz parte da base. A potenciação é calculada primeiro; o sinal negativo é aplicado depois.
\(-2^4 = -(2^4) = -16\)
sinal fora: base é 2, não \(-2\)
\((-2)^4 = +16\)
sinal dentro: base é \(-2\)
\(-5^0 = -(5^0) = -1\)
enquanto \((-5)^0 = 1\)
MB
Mesma Base — Mult. e Divisão
Operações com potências de mesma base
Multiplicação: repete a base e soma os expoentes.
\[a^x \cdot a^y = a^{\,x+y}\]
\(2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32\)
\(2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5-3} = 2^2 = 4\)
\(x^3 \cdot x^4 = x^7\)
\(3x^2 \cdot 2x^3 = 6x^5\)
Divisão: repete a base e subtrai os expoentes.
\[\frac{a^x}{a^y} = a^{\,x-y}\]
\(\dfrac{2^6}{2^2} = 2^{6-2} = 2^4 = 16\)
\(\dfrac{2^2}{2^{-3}} = 2^{2-(-3)} = 2^{2+3} = 2^5\)
\(\dfrac{x^5}{x^2} = x^3\)
Pp
Produto e Potência de Potência
Distribuição e composição de expoentes
Potência de um produto: distribua a potência entre os fatores.
\[(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\]
\((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\)
\((2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3\)
\((3x^2)^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = 9x^4\)
Potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes.
\[(a^x)^y = a^{\,x \cdot y}\]
\((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)
\((x^2)^3 = x^6\)
\((5^2)^4 = 5^8\)
FG
Fração, Expoente Negativo e Zero
Casos com bases fracionárias e expoentes especiais
Potência de fração: distribua a potência entre numerador e denominador.
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]
\(\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{5^2}{3^2} = \dfrac{25}{9}\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}\)
Expoente negativo: inverte a base (toma o recíproco) e aplica o expoente positivo.
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\]
\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}\)
\(10^{-3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001\)
Expoente zero: qualquer \(a \neq 0\) elevado a \(0\) é igual a \(1\).
\[a^0 = 1 \qquad (a \neq 0)\]
\(7^0 = 1\)
\((-5)^0 = 1\)
\(\left(\dfrac{7}{3}\right)^0 = 1\)
⚠
Erro Clássico e Exercício Combinado
Armadilha frequente e aplicação encadeada das regras
Erro clássico — \((a+b)^n \neq a^n + b^n\)
A potenciação não se distribui sobre a soma ou a subtração.
Este é o erro mais comum em álgebra com potências.
\[(a + b)^n \;\neq\; a^n + b^n\]
Errado: \((2+3)^2 \overset{?}{=} 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\)
Correto: \((2+3)^2 = 5^2 = 25\)
Errado: \((x+y)^2 \overset{?}{=} x^2 + y^2\)
Correto: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
Exercício combinado — múltiplas propriedades
Simplifique: \(\;\dfrac{(2^3)^2 \cdot 2^{-1}}{2^4}\)
\((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6\) (potência de potência)
\(2^6 \cdot 2^{-1} = 2^{6-1} = 2^5\) (mult. mesma base)
\(\dfrac{2^5}{2^4} = 2^{5-4} = 2^1\) (div. mesma base)
\(= 2\)
NC
Notação Científica
Aplicação das potências de 10 em números muito grandes ou pequenos
Um número está em notação científica quando é escrito na forma
\(a \times 10^n\), onde \(1 \leq |a| < 10\) e \(n \in \mathbb{Z}\).
Expoente positivo → número grande;
expoente negativo → número pequeno.
Convertendo para notação científica
\(6\,000\,000 = 6 \times 10^6\)
desloque a vírgula 6 casas para a esquerda
\(0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4}\)
desloque a vírgula 4 casas para a direita
\(3\,850\,000\,000 = 3{,}85\times 10^{9}\)
raio da Terra em metros
Operações em notação científica
\((3 \times 10^4) \cdot (2 \times 10^3)\)
\(= (3 \cdot 2) \times 10^{4+3}\)
\(= 6 \times 10^7\)
\(\dfrac{8 \times 10^6}{2 \times 10^2}\)
\(= \dfrac{8}{2} \times 10^{6-2}\)
\(= 4 \times 10^4\)
Ref
Principais Potências
Tabela de referência — quadrados, cubos e quartas
| Quadrados | Quadrados | Cubos | Quartas |
|---|---|---|---|
| \(1^2 = 1\) | \(11^2 = 121\) | \(1^3 = 1\) | \(1^4 = 1\) |
| \(2^2 = 4\) | \(12^2 = 144\) | \(2^3 = 8\) | \(2^4 = 16\) |
| \(3^2 = 9\) | \(13^2 = 169\) | \(3^3 = 27\) | \(3^4 = 81\) |
| \(4^2 = 16\) | \(14^2 = 196\) | \(4^3 = 64\) | \(4^4 = 256\) |
| \(5^2 = 25\) | \(15^2 = 225\) | \(5^3 = 125\) | \(5^4 = 625\) |
| \(6^2 = 36\) | \(16^2 = 256\) | \(6^3 = 216\) | \(6^4 = 1.296\) |
| \(7^2 = 49\) | \(17^2 = 289\) | \(7^3 = 343\) | \(7^4 = 2.401\) |
| \(8^2 = 64\) | \(18^2 = 324\) | \(8^3 = 512\) | \(8^4 = 4.096\) |
| \(9^2 = 81\) | \(19^2 = 361\) | \(9^3 = 729\) | \(9^4 = 6.561\) |
| \(10^2 = 100\) | \(20^2 = 400\) | \(10^3 = 1.000\) | \(10^4 = 10.000\) |
