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Circunferência e Círculo

Diferencie circunferência de círculo. Calcule comprimento (C = 2πr), área (A = πr²), comprimento de arco e área de setor circular. Resolva problemas com coroa circular e aplique π em contextos do ENEM.
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Circunferência e Círculo
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○
Circunferência e Círculo
Definição e elementos fundamentais
A circunferência é o conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto central — apenas o contorno. O círculo é a região limitada pela circunferência, incluindo o interior.
Elementos do círculo
Centro (O): ponto equidistante de todos os pontos da circunferência Raio (r): segmento do centro a qualquer ponto da circunferência Diâmetro (d): corda que passa pelo centro; \(d = 2r\) Corda: segmento com extremos na circunferência (não passa pelo centro) Arco: parte da circunferência entre dois pontos
C
Comprimento da Circunferência
\(C = 2\pi r\)
\[\displaystyle C = 2\pi r = \pi d\] onde \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\) É comum usar \(\pi \approx 3{,}14\) em cálculos aproximados.

Exemplo 1 — raio \(r = 5\,\text{cm}\)

\(C = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}4\,\text{cm}\)

Exemplo 2 — diâmetro \(d = 14\,\text{cm}\)

\(C = \pi \times 14 = 14\pi \approx 43{,}96\,\text{cm}\)
A
Área do Círculo
\(A = \pi r^2\)
\[\displaystyle A = \pi r^2\]

Exemplo 1 — \(r = 3\,\text{m}\)

\(A = \pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28{,}27\,\text{m}^2\)

Exemplo 2 — \(d = 10\,\text{cm}\), logo \(r = 5\)

\(A = \pi \times 25 = 25\pi \approx 78{,}54\,\text{cm}^2\)
θ
Arco e Setor Circular
Proporção com o ângulo central
Setor circular
Um ângulo central \(\theta\) (em graus) recorta do círculo um setor proporcional a \(\theta / 360°\):
Comprimento do arco: \(\ell = \dfrac{\theta}{360} \times 2\pi r\) Área do setor: \(A_s = \dfrac{\theta}{360} \times \pi r^2\)

Exemplo — \(r = 6\,\text{cm}\), \(\theta = 60°\)

\(\ell = \dfrac{60}{360} \times 2\pi \times 6 = \dfrac{1}{6} \times 12\pi = 2\pi \approx 6{,}28\,\text{cm}\) \(A_s = \dfrac{60}{360} \times \pi \times 36 = \dfrac{36\pi}{6} = 6\pi \approx 18{,}85\,\text{cm}^2\)
◎
Coroa Circular
Área entre dois círculos concêntricos
A coroa circular é a região entre dois círculos concêntricos (mesmo centro) com raios \(R\) (maior) e \(r\) (menor): \[\displaystyle A_{\text{coroa}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)\]

Exemplo — pista de corrida circular: \(R = 10\,\text{m}\), \(r = 8\,\text{m}\)

\(A = \pi(10^2 - 8^2) = \pi(100 - 64) = 36\pi \approx 113{,}1\,\text{m}^2\)
Ex
Problemas Contextualizados
Pizza, relógio, pista de corrida

Pizza

Uma pizza de 30 cm de diâmetro é dividida em 8 fatias iguais. Qual a área de cada fatia?

\(r = 15\,\text{cm}\); cada fatia tem \(\theta = 360° \div 8 = 45°\) \(A_{\text{fatia}} = \dfrac{45}{360} \times \pi \times 15^2 = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}4\,\text{cm}^2\)

Ponteiro de relógio

Um ponteiro de 10 cm percorre 90° em 15 minutos. Qual arco ele percorre?

\(\ell = \dfrac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = \dfrac{20\pi}{4} = 5\pi \approx 15{,}7\,\text{cm}\)