PratiqueJá PJ
Produtos
Intermediário

Semelhança entre Ângulos

Estude ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversal: correspondentes, alternos internos e externos e coletâneos. Aplique na determinação de medidas desconhecidas em figuras geométricas.
Exercícios 57
Questões 15
PDF's 9
Progresso 0%
0 exercícios resolvidos · 0 questões respondidas
Semelhança entre Ângulos
Teoria
Exercícios
Questões
PDFs
Def
Ângulos Opostos pelo Vértice
Também chamados de ângulos verticais
Dois ângulos opostos pelo vértice sempre possuem a mesma medida — são congruentes.

Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos. Dois ângulos que compartilham um vértice e um lado são chamados de ângulos adjacentes — na interseção de duas retas eles são sempre suplementares. Os ângulos não adjacentes são os ângulos opostos pelo vértice (também chamados de ângulos verticais).

Na figura, os dois ângulos em vermelho (\(\alpha\)) são opostos pelo vértice e têm a mesma medida. O mesmo vale para os dois em verde (\(\beta\)). Observe ainda que \(\alpha\) e \(\beta\) são adjacentes e portanto suplementares: \(\alpha + \beta = 180°\).

Ângulos opostos pelo vértice

Exemplo resolvido

Na figura, \(\alpha = 60°\). Encontre \(x\) (oposto a \(\alpha\)) e \(\beta\) (adjacente a \(\alpha\)).

\(x = \alpha = \)60° (opostos pelo vértice → congruentes)
\(\beta = 180° - 60° = \)120° (adjacentes → suplementares)
90°
Ângulos Complementares
Soma igual a 90°
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. O complemento de \(\alpha\) é \(90° - \alpha\).

Os ângulos não precisam ser adjacentes para serem complementares — basta que suas medidas somem 90°. Ângulos complementares aparecem com frequência em triângulos retângulos, onde os dois ângulos agudos são sempre complementares entre si.

Exemplos

\(30° + 60° = \)90° → complementares ✓
\(45° + 45° = \)90° → complementares ✓
\(50° + 60° = 110° \neq 90°\) → não complementares ✗

Encontrando o complemento

Se \(\alpha = 37°\), o complemento é \(90° - 37° = \)53°
Se \(\alpha = 72°\), o complemento é \(90° - 72° = \)18°
180°
Ângulos Suplementares
Soma igual a 180°
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. O suplemento de \(\alpha\) é \(180° - \alpha\).

Ângulos suplementares adjacentes formam uma linha reta. Como visto na seção anterior, na interseção de duas retas cada ângulo é sempre suplementar aos seus dois vizinhos adjacentes.

Exemplos

\(60° + 120° = \)180° → suplementares ✓
\(90° + 90° = \)180° → suplementares ✓
\(70° + 80° = 150° \neq 180°\) → não suplementares ✗

Encontrando o suplemento

Se \(\alpha = 30°\), o suplemento é \(180° - 30° = \)150°
Se \(\alpha = 110°\), o suplemento é \(180° - 110° = \)70°
∥
Retas Paralelas e Transversal
Correspondentes, alternos e colaterais
Quando uma reta transversal corta duas retas paralelas, formam-se 8 ângulos com relações bem definidas: ângulos correspondentes e alternos são iguais; ângulos colaterais são suplementares (somam \(180°\)).
Retas paralelas e transversal

Tipos de ângulos formados

Correspondentes
Mesmo lado da transversal, um em cada paralela.
\(\alpha_r = \alpha_s\)
Alternos internos
Entre as paralelas, lados opostos da transversal.
\(\alpha_r = \alpha_s\)
Alternos externos
Fora das paralelas, lados opostos da transversal.
\(\alpha_r = \alpha_s\)
Colaterais co-internos
Entre as paralelas, mesmo lado da transversal.
\(\alpha + \beta = 180°\)
Colaterais co-externos
Fora das paralelas, mesmo lado da transversal.
\(\alpha + \beta = 180°\)
Atenção — erro comum: Alternos internos e colaterais co-internos ficam ambos entre as paralelas, mas têm relações opostas: alternos são iguais (lados opostos da transversal), colaterais são suplementares (mesmo lado da transversal).

Exemplos resolvidos

1) Ângulo correspondente — ângulo \(\alpha\) na reta \(r\) mede \(50°\):

Correspondente em \(s\): \(\alpha_s = 50°\) (iguais)
Adjacente \(\beta\) em \(r\): \(\beta = 180° - 50° = \)130°

2) Ângulo alterno interno — ângulo \(\alpha\) em \(r\) mede \(70°\):

Alterno interno em \(s\): \(\alpha_s = 70°\) (iguais — lados opostos)

3) Ângulo colateral co-interno — ângulo \(\alpha\) em \(r\) mede \(30°\):

Colateral em \(s\): \(\beta = 180° - 30° = \)150° (suplementares — mesmo lado)
Teorema recíproco: Se dois ângulos correspondentes (ou alternos) formados por uma transversal forem iguais, então as duas retas cortadas são necessariamente paralelas. Essa propriedade é usada para provar paralelismo.
≡
Tabela Resumo
Todas as relações angulares
Tipo Contexto Fórmula Exemplo
Opostos pelo vértice Interseção de duas retas \(\alpha_1 = \alpha_2\) Se \(\alpha = 50°\), o oposto é \(50°\)
Complementares Par cuja soma é \(90°\) \(\alpha + \beta = 90°\) \(30° + 60° = 90°\)
Suplementares Par cuja soma é \(180°\) \(\alpha + \beta = 180°\) \(60° + 120° = 180°\)
Correspondentes Paralelas + transversal \(\alpha_r = \alpha_s\) Se \(\alpha = 70°\), correspondente é \(70°\)
Alternos internos Paralelas + transversal \(\alpha_r = \alpha_s\) Se \(\alpha = 70°\), alterno é \(70°\)
Alternos externos Paralelas + transversal \(\alpha_r = \alpha_s\) Se \(\alpha = 70°\), alterno externo é \(70°\)
Colaterais co-internos Paralelas + transversal \(\alpha + \beta = 180°\) Se \(\alpha = 70°\), colateral é \(110°\)
Colaterais co-externos Paralelas + transversal \(\alpha + \beta = 180°\) Se \(\alpha = 70°\), col. externo é \(110°\)