Dois triângulos são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes iguais
e lados correspondentes proporcionais.
Dizemos que o triângulo \(ABC\) é semelhante ao triângulo \(A'B'C'\), denotado
\(ABC \sim A'B'C'\), quando existe um valor \(k\) — chamado de
razão de semelhança — tal que:
\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AC}{A'C'} = k\)
Se \(k = 1\) os triângulos são congruentes. Se \(k \neq 1\) são semelhantes
mas de tamanhos diferentes.
Atenção — ordem dos vértices: a notação \(ABC \sim A'B'C'\)
exige correspondência posicional. O vértice \(A\) corresponde a \(A'\), \(B\) a \(B'\)
e \(C\) a \(C'\). Escrever os vértices fora de ordem altera quais lados e ângulos
são considerados correspondentes e invalida a proporção.
Se duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, os segmentos
determinados em uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes
na outra transversal.
\(\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\gamma}{\phi}\)
A proporção também se mantém ao substituir um segmento pela soma de segmentos adjacentes:
\(\dfrac{\alpha+\beta}{\beta} = \dfrac{\gamma+\phi}{\phi}
\qquad \text{e} \qquad
\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} = \dfrac{\gamma}{\gamma+\phi}\)
Exemplos
Dados \(\alpha = 5\), \(\beta = 10\), \(\gamma = x\) e \(\phi = 12\)
\(\dfrac{5}{10} = \dfrac{x}{12}\)
\(\dfrac{x}{12} = \dfrac{1}{2}\)
\(x = 6\)
Dados \(\alpha = 3\), \(\beta = 9\), \(\gamma = 2\) e \(\phi = x\)
\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{x}\)
\(3x = 18\)
\(x = 6\)
Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes iguais, então são semelhantes.
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é \(180°\), basta que dois
ângulos sejam iguais para que o terceiro também seja. Com isso, os lados ficam
necessariamente proporcionais.
Na figura, a reta \(DE\) é paralela à base \(AB\), de modo que
\(\angle CDE = \angle CAB\) e \(\angle CED = \angle CBA\) (ângulos correspondentes).
Portanto \(\triangle CDE \sim \triangle CAB\):
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DE}{AB}\)
Dois triângulos são semelhantes quando dois pares de lados correspondentes são
proporcionais e os ângulos formados entre esses lados são iguais.
Dados \(\triangle ABC\) e \(\triangle DEF\), se \(\angle A = \angle D\) e
\(\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF}\), então \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Exemplo
\(\triangle ABC\): \(AB = 4\), \(AC = 6\), \(\angle A = 50°\)
\(\triangle DEF\): \(DE = 8\), \(DF = 12\), \(\angle D = 50°\)
\(\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\) e
\(\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
Razões iguais e ângulo incluído igual →
LAL ⇒ \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) com \(k = 2\)
Dois triângulos são semelhantes quando os três pares de lados correspondentes são
proporcionais, ou seja, quando existe um único valor \(k\) que relaciona todos os pares.
Exemplo
\(\triangle ABC\): lados \(3\), \(4\) e \(6\)
\(\triangle DEF\): lados \(6\), \(8\) e \(12\)
\(\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
Todas as razões iguais →
LLL ⇒ \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) com \(k = 2\)
Se dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança \(k\), então:
\(\dfrac{P}{P'} = k\)
razão dos perímetros — cresce na mesma proporção dos lados
\(\dfrac{A}{A'} = k^2\)
razão das áreas — cresce com o quadrado da razão de semelhança
\(\dfrac{h}{h'} = k\)
razão das alturas correspondentes — igual à razão de semelhança
\(\dfrac{m}{m'} = k\)
razão das medianas correspondentes — igual à razão de semelhança
Exemplos
Dois triângulos semelhantes com \(k = 3\); menor tem área \(10\,\text{cm}^2\)
\(A' = 10 \cdot 3^2 = 10 \cdot 9\)
\(A' = 90\,\text{cm}^2\)
Perímetro do menor é \(12\,\text{cm}\) e \(k = 2\)
\(P' = 12 \cdot 2\)
\(P' = 24\,\text{cm}\)
Ao traçar a altura \(h\) relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo,
formam-se três triângulos semelhantes entre si:
o triângulo original e os dois menores formados pela altura.
No triângulo retângulo \(ABC\) com ângulo reto em \(C\), ao traçar \(CH \perp AB\):
\(\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH\)
Essa semelhança tripla fundamenta as Relações Métricas no Triângulo Retângulo.
Sendo \(m\) e \(n\) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa \((a = m + n)\):
\(h^2 = m \cdot n\)
altitude ao quadrado = produto das projeções
\(b^2 = a \cdot m\)
cateto ao quadrado = hipotenusa × sua projeção
\(c^2 = a \cdot n\)
cateto ao quadrado = hipotenusa × sua projeção
Exemplo
Triângulo retângulo com catetos \(b = 6\) e \(c = 8\) — calcular \(h\)
Hipotenusa: \(a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\)
Projeções: \(m = \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6\)
e \(n = \dfrac{c^2}{a} = \dfrac{64}{10} = 6{,}4\)
\(h^2 = m \cdot n = 3{,}6 \times 6{,}4 = 23{,}04\)
\(h = 4{,}8\)
Verificação: \(a \cdot h = 10 \times 4{,}8 = 48 = b \cdot c = 6 \times 8\) ✓
Exemplo 1 — Teorema de Tales com triângulo
No triângulo \(CAB\), a reta \(DE \parallel AB\) com \(CD = 4\), \(DE = 6\)
e \(AB = 12\). Calcule \(DA = x\).
\(DE \parallel AB\) → \(\triangle CDE \sim \triangle CAB\) pelo critério AA
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB} \Rightarrow \dfrac{4}{4+x} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
\(4 \cdot 2 = 4 + x \Rightarrow 8 = 4 + x\)
\(x = 4\)
Exemplo 2 — Proporcionalidade de lados
No mesmo triângulo, \(CD = 4\), \(DA = 6\), \(CE = 8\) e \(EB = x\). Calcule \(x\).
Pelo Teorema de Tales: \(\dfrac{CD}{DA} = \dfrac{CE}{EB}\)
\(\dfrac{4}{6} = \dfrac{8}{x}\)
\(4x = 8 \cdot 6 = 48\)
\(x = 12\)
Exemplo 3 — Cálculo de lados com razão de semelhança
Um triângulo tem lados \(4\), \(6\) e \(8\). Um triângulo semelhante tem
o menor lado igual a \(6\). Calcule os outros lados.
Razão de semelhança: \(k = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)
Segundo lado: \(6 \cdot \dfrac{3}{2} = \)9
Terceiro lado: \(8 \cdot \dfrac{3}{2} = \)12
Estratégia: (1) identificar os triângulos semelhantes ocultos no problema;
(2) estabelecer a proporção correta entre os lados correspondentes;
(3) resolver a equação e interpretar o resultado.
Problema 1 — Altura de uma árvore
Um poste de \(2\,\text{m}\) projeta uma sombra de \(3\,\text{m}\). No mesmo instante,
uma árvore projeta uma sombra de \(12\,\text{m}\). Qual é a altura da árvore?
Os raios solares são paralelos → os triângulos formados são semelhantes (AA)
\(\dfrac{\text{poste}}{\text{árvore}} = \dfrac{\text{sombra do poste}}{\text{sombra da árvore}}\)
\(\dfrac{2}{h} = \dfrac{3}{12}\)
\(3h = 24\)
\(h = 8\,\text{m}\)
Problema 2 — Largura de um rio
Um topógrafo quer medir a largura \(AB\) de um rio sem atravessá-lo.
Ele marca pontos \(C\), \(D\) e \(E\) na margem de modo que \(DE \parallel AB\),
com \(CD = 10\,\text{m}\), \(DA = 5\,\text{m}\) e \(DE = 8\,\text{m}\). Calcule \(AB\).
\(DE \parallel AB\) → \(\triangle CDE \sim \triangle CAB\) pelo critério AA
\(CA = CD + DA = 10 + 5 = 15\,\text{m}\)
\(\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{CD}{CA} \Rightarrow \dfrac{8}{AB} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\)
\(2 \cdot AB = 8 \cdot 3 = 24\)
\(AB = 12\,\text{m}\)
