Pratique Já

Def

Definição e Nomenclatura

Grau, coeficientes e termos semelhantes

Um polinômio em \(x\) é uma expressão da forma \[ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \] onde os coeficientes \(a_i\) são números reais e os expoentes são inteiros não negativos. O grau de \(p(x)\) é o maior expoente cujo coeficiente é não nulo.

Nomenclatura por número de termos

Monômio — 1 termo (\(3x^2\))
Binômio — 2 termos (\(x^3 - 5\))
Trinômio — 3 termos (\(x^2 + 4x - 1\))
Polinômio — 4 ou mais termos

Termos semelhantes possuem a mesma parte literal (mesma variável com mesmo expoente) e podem ser somados: \(3x^2 + 5x^2 = 8x^2\).

Identifique o grau e o coeficiente líder de \(p(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1\). Maior expoente: 4 → grau 4 Coeficiente líder: \(a_4 = 3\) Termo independente: \(a_0 = -1\)

Simplifique: \(4x^3 - x^2 + 3x^3 + 5x^2 - 2x\). Agrupe semelhantes: \((4+3)x^3 + (-1+5)x^2 - 2x\) \(7x^3 + 4x^2 - 2x\) (grau 3)

O polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero e, por convenção, não possui grau definido. O polinômio constante não nulo tem grau 0.

Op

Operações com Polinômios

Adição, subtração e multiplicação

Polinômios são somados e subtraídos agrupando termos semelhantes. Na multiplicação, aplica-se a lei distributiva e somam-se os expoentes de fatores com a mesma base.

Adição e Subtração

Dados \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 4x - 2\) e \(q(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 5\), calcule \(p(x) + q(x)\) e \(p(x) - q(x)\). \(p+q = (3-1)x^3 + (-1+2)x^2 + (4-1)x + (-2+5)\) \(p+q = 2x^3 + x^2 + 3x + 3\) \(p-q = (3+1)x^3 + (-1-2)x^2 + (4+1)x + (-2-5)\) \(p-q = 4x^3 - 3x^2 + 5x - 7\)

Multiplicação

Calcule \((x + 2)(x^2 - 3x + 1)\). \(x \cdot (x^2-3x+1) + 2 \cdot (x^2-3x+1)\) \(= x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2\) \(= x^3 - x^2 - 5x + 2\)

Calcule \((2x - 1)(3x^2 + x - 4)\). \(2x(3x^2+x-4) - 1(3x^2+x-4)\) \(= 6x^3+2x^2-8x - 3x^2-x+4\) \(= 6x^3 - x^2 - 9x + 4\)

CN

Casos Notáveis

Produtos especiais com resultado memorável

Certos produtos de polinômios aparecem com tanta frequência que valem ser memorizados. Eles são a base tanto de expansões rápidas quanto da fatoração.

Quadrado da soma e da diferença

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Produto da soma pela diferença

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Expanda \((2x + 3)^2\). \(a = 2x,\; b = 3\) \((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2\) \(4x^2 + 12x + 9\)

Expanda \((3x - 1)^2\). \((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2\) \(9x^2 - 6x + 1\)

Calcule \((x + 5)(x - 5)\). \(a = x,\; b = 5\) \(x^2 - 25\)

Calcule \((2x + 7)(2x - 7)\). \(a = 2x,\; b = 7\) \(4x^2 - 49\)

Atalho ENEM: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) é muito usado para calcular produtos como \(51 \times 49 = (50+1)(50-1) = 2500 - 1 = 2499\).

Fat

Fatoração de Polinômios

Fator comum, agrupamento, trinômio perfeito e diferença de quadrados

Fatorar é escrever o polinômio como um produto de fatores de grau menor. As quatro técnicas principais são aplicadas em sequência: verifique sempre se há fator comum antes de tentar as demais.

1. Fator comum em evidência

Identifique o MDC dos coeficientes e a menor potência de cada variável comum a todos os termos.

Fatore \(6x^3 - 4x^2 + 2x\). MDC dos coef.: 2; menor potência de \(x\): \(x^1\). \(2x(3x^2 - 2x + 1)\)

Fatore \(x^3 - x\). \(x(x^2 - 1)\) \(x(x+1)(x-1)\) (+ diferença de quadrados)

2. Agrupamento

Agrupe pares de termos de forma que cada grupo revele um fator comum, que depois é colocado em evidência.

Fatore \(x^3 + 2x^2 + x + 2\). \(x^2(x + 2) + 1(x + 2)\) \((x^2 + 1)(x + 2)\)

3. Trinômio quadrado perfeito

Reconheça o padrão \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\) — o inverso dos casos notáveis.

Fatore \(x^2 + 6x + 9\). \(a = x,\; b = 3\) → \(2ab = 6x\;\checkmark\) \((x + 3)^2\)

Fatore \(4x^2 - 20x + 25\). \(a = 2x,\; b = 5\) → \(2ab = 20x\;\checkmark\) \((2x - 5)^2\)

4. Diferença de quadrados

Reconheça \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Atenção: soma de quadrados (\(a^2 + b^2\)) não fatora nos reais.

Fatore \(4x^2 - 9\). \(a = 2x,\; b = 3\) \((2x + 3)(2x - 3)\)

Fatore \(x^4 - 16\). \((x^2 + 4)(x^2 - 4)\) \((x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)

BR

Divisão de Polinômios — Briot-Ruffini

Algoritmo de divisão por \((x - a)\)

O algoritmo de Briot-Ruffini realiza a divisão de um polinômio \(p(x)\) pelo binômio \((x - a)\) de forma compacta, operando apenas sobre os coeficientes. O resultado é o quociente \(q(x)\) (grau \(n-1\)) e o resto \(r\).

Passo a passo

Escreva os coeficientes de \(p(x)\) em ordem decrescente de grau (use 0 para potências ausentes).
Anote o valor de \(a\) à esquerda.
Desça o primeiro coeficiente.
Multiplique o valor descido por \(a\) e some ao próximo coeficiente. Repita até o fim.
O último resultado é o resto; os anteriores são os coeficientes do quociente.

Divida \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) por \((x - 1)\). Coeficientes: 1, −6, 11, −6 \(a = 1\)

1	1	−6	11	−6
		1	−5	6
	1	−5	6	0

Quociente: \(x^2 - 5x + 6\) Resto: \(0\) \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\) \(p(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\)

Divida \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12\) por \((x - 2)\). Coeficientes: 2, −3, −8, 12 \(a = 2\)

2	2	−3	−8	12
		4	2	−12
	2	1	−6	0

Quociente: \(2x^2 + x - 6 = (2x - 3)(x + 2)\) \(p(x) = (x-2)(2x-3)(x+2)\)

Potência ausente: se \(p(x) = x^3 - 4x + 1\), o coeficiente de \(x^2\) é 0 — use a sequência 1, 0, −4, 1 na tabela.

Teo

Teorema do Resto e das Raízes

\(p(a) = 0 \;\Leftrightarrow\; (x - a)\) é fator de \(p(x)\)

Ao dividir \(p(x)\) por \((x - a)\), o resto é igual a \(p(a)\). Isso elimina a necessidade de executar a divisão quando só o resto interessa.

Teorema do Resto

\[ p(x) = (x - a) \cdot q(x) + r \quad\Longrightarrow\quad r = p(a) \]

Teorema das Raízes (Fator)

\[ p(a) = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x - a) \text{ é fator de } p(x) \]

Em outras palavras, \(a\) é raiz do polinômio se e somente se o resto da divisão por \((x - a)\) for zero.

Qual o resto da divisão de \(q(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 4\) por \((x - 1)\)? Pelo Teorema do Resto: resto \(= q(1)\) \(q(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 3(1) + 4 = 2 + 1 - 3 + 4\) Resto \(= 4\)

Verifique que \(x = 1,\; x = -2\) e \(x = 3\) são raízes de \(p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\). \(p(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\;\checkmark \;\Rightarrow\; (x-1)\) é fator \(p(-2) = -8 - 8 + 10 + 6 = 0\;\checkmark \;\Rightarrow\; (x+2)\) é fator \(p(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0\;\checkmark \;\Rightarrow\; (x-3)\) é fator \(p(x) = (x-1)(x+2)(x-3)\)

Para qual valor de \(k\) o polinômio \(p(x) = x^3 - kx + 2\) tem \(x = 2\) como raiz? Se \(x = 2\) é raiz, então \(p(2) = 0\). \(8 - 2k + 2 = 0 \;\Rightarrow\; 2k = 10\) \(k = 5\)

Estratégia prática: para fatorar completamente um polinômio de grau 3, procure uma raiz inteira entre os divisores do termo independente, aplique Briot-Ruffini e fatore o quociente de grau 2 com fórmula de Bhaskara se necessário.

polinomios