Avançado
Fórmulas de Adição e Duplicação
Aprenda as fórmulas de adição: sen(a±b), cos(a±b) e tg(a±b). Derive fórmulas de duplicação e de bissecção. Calcule valores exatos como sen 75°, cos 15° e prove identidades trigonométricas avançadas.
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Def
Fórmulas de Adição e Subtração
Seno, cosseno e tangente da soma/diferença de arcos
Seno:
\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]
\[\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]
Cosseno:
\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]
\[\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\]
Tangente:
\[\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \qquad
\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}\]
(válidas quando os denominadores \(\neq 0\))
Exemplo 1 — \(\sin 75°\)
\(\sin 75° = \sin(45° + 30°)\)
\(= \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(= \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
Exemplo 2 — \(\cos 15°\)
\(\cos 15° = \cos(45° - 30°)\)
\(= \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(= \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
2a
Fórmulas de Duplicação (Arco Duplo)
Obtidas fazendo \(b = a\) nas fórmulas de adição
\[\sin(2a) = 2\sin a \cos a\]
\[\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1\]
\[\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}\]
Exemplo 3 — \(\sin(2a)\) dado \(\sin a = \tfrac{3}{5}\), \(a\) no 1º quadrante
\(\cos a = \tfrac{4}{5}\) (Pitágoras)
\(\sin(2a) = 2 \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{5}\)
\(= \tfrac{24}{25}\)
\(\sin(2a) = 2 \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{5}\)
\(= \tfrac{24}{25}\)
Exemplo 4 — \(\cos^2 a - \sin^2 a\) para \(a = 30°\)
\(\cos(2 \cdot 30°) = \cos 60° = \tfrac{1}{2}\)
Verif.: \(\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{4}\)
\(= \tfrac{1}{2}\) ✓
Verif.: \(\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{4}\)
\(= \tfrac{1}{2}\) ✓
a/2
Fórmulas de Bissecção (Arco Metade)
Expressam \(\sin^2\) e \(\cos^2\) em termos de \(\cos(2a)\)
Das fórmulas de duplicação do cosseno, isolamos:
\[\sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2} \qquad \cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}\]
Fazendo \(a \to \tfrac{a}{2}\):
\[\sin^2\!\tfrac{a}{2} = \frac{1 - \cos a}{2} \qquad \cos^2\!\tfrac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2}\]
Exemplo 5 — \(\cos^2 15°\)
\(\cos^2 15° = \dfrac{1 + \cos 30°}{2} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\)
\(= \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}\)
\(= \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}\)
P→S
Produto em Soma (e Soma em Produto)
Simplificam integrais e expressões trigonométricas
Produto em soma (somando/subtraindo as fórmulas de adição):
\[\sin a \cos b = \tfrac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]\]
\[\cos a \cos b = \tfrac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]\]
\[\sin a \sin b = \tfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]\]
Soma em produto (fazendo \(p = a+b\), \(q = a-b\)):
\[\sin p + \sin q = 2\sin\!\tfrac{p+q}{2}\cos\!\tfrac{p-q}{2}\]
\[\cos p + \cos q = 2\cos\!\tfrac{p+q}{2}\cos\!\tfrac{p-q}{2}\]
Exemplo 6 — simplificar \(\sin 70° + \sin 10°\)
\(= 2\sin\tfrac{80°}{2}\cos\tfrac{60°}{2} = 2\sin 40°\cos 30°\)
\(= \sqrt{3}\sin 40°\)
\(= \sqrt{3}\sin 40°\)
Exemplo 7 — provar \(\cos^2 a - \sin^2 b = \cos(a+b)\cos(a-b)\)
Lado direito \(= [\cos a\cos b - \sin a\sin b][\cos a\cos b + \sin a\sin b]\)
\(= \cos^2 a\cos^2 b - \sin^2 a\sin^2 b\)
\(= \cos^2 a(1-\sin^2 b) - \sin^2 b(1-\cos^2 a)\)
\(= \cos^2 a - \sin^2 b\) ✓
\(= \cos^2 a\cos^2 b - \sin^2 a\sin^2 b\)
\(= \cos^2 a(1-\sin^2 b) - \sin^2 b(1-\cos^2 a)\)
\(= \cos^2 a - \sin^2 b\) ✓
As fórmulas de adição são a base de todas as demais: duplicação, bissecção e produto em soma
derivam diretamente delas.
