Avançado
Funções Trigonométricas
Explore as funções seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico. Analise período, amplitude, gráficos e transformações. Estude identidades fundamentais e aplique em modelagem de fenômenos periódicos.
Exercícios
60
Questões
71
PDF's
6
Teoria
Exercícios
Questões
PDFs
Def
Radiano
Unidade natural de medida de ângulos
Um radiano é o ângulo central que intercepta um arco cujo comprimento
é igual ao raio da circunferência. Em um círculo de raio \(r\), a volta completa
tem comprimento \(2\pi r\), logo \(2\pi\) radianos equivalem a \(360°\):
\[
\pi \text{ rad} = 180° \qquad\Rightarrow\qquad
1 \text{ rad} \approx 57{,}3°
\]
Conversão grau ↔ radiano
\(\text{rad} = \text{grau} \times \dfrac{\pi}{180} \qquad\qquad
\text{grau} = \text{rad} \times \dfrac{180}{\pi}\)
Arcos notáveis
\(30° = \dfrac{\pi}{6}\)
\(45° = \dfrac{\pi}{4}\)
\(60° = \dfrac{\pi}{3}\)
\(90° = \dfrac{\pi}{2}\)
\(180° = \pi\)
\(270° = \dfrac{3\pi}{2}\)
\(360° = 2\pi\)
\(120° = \dfrac{2\pi}{3}\)
\(150° = \dfrac{5\pi}{6}\)
Exemplos de conversão
Converter \(135°\) para radianos:
\(135 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}\)
\(135° = \dfrac{3\pi}{4}\) rad
Converter \(\dfrac{5\pi}{6}\) para graus:
\(\dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{6} = 150\)
\(\dfrac{5\pi}{6}\) rad \(= 150°\)
Cic
Ciclo Trigonométrico
Seno e cosseno no círculo unitário
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 centrada
na origem. Para um ângulo \(\theta\), o ponto \(P\) sobre o ciclo tem coordenadas:
\[
P = (\cos\theta,\; \operatorname{sen}\theta)
\]
O cosseno é a projeção horizontal de \(P\) e o
seno é a projeção vertical.
1º Quadrante (0° a 90°)
sen \(> 0\) e cos \(> 0\)
2º Quadrante (90° a 180°)
sen \(> 0\) e cos \(< 0\)
3º Quadrante (180° a 270°)
sen \(< 0\) e cos \(< 0\)
4º Quadrante (270° a 360°)
sen \(< 0\) e cos \(> 0\)
Como o ciclo tem raio 1, os valores de seno e cosseno sempre satisfazem
\(-1 \leq \operatorname{sen}\theta \leq 1\) e \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\).
Tab
Valores Notáveis
Seno, cosseno e tangente dos ângulos principais
Estes valores devem ser memorizados — aparecem em quase toda questão de trigonometria:
| Ângulo | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianos | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) |
| sen | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 | −1 |
| cos | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | −1 | 0 |
| tg | 0 | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | ∄ | 0 | ∄ |
Macete do seno: \(0°\to\frac{\sqrt{0}}{2}\), \(30°\to\frac{\sqrt{1}}{2}\),
\(45°\to\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(60°\to\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(90°\to\frac{\sqrt{4}}{2}=1\).
O cosseno segue o padrão inverso.
Graf
Gráficos de Seno e Cosseno
Período, amplitude e comportamento periódico
As funções \(f(x) = \operatorname{sen} x\) e \(g(x) = \cos x\) são periódicas
com período \(2\pi\): repetem o mesmo padrão a cada volta completa no ciclo.
Ambas têm amplitude 1, domínio \(\mathbb{R}\) e imagem \([-1, 1]\).
Seno \(f(x) = \operatorname{sen} x\)
Começa em 0, sobe até 1 em \(\frac{\pi}{2}\), volta a 0 em \(\pi\),
desce até −1 em \(\frac{3\pi}{2}\), retorna a 0 em \(2\pi\).
Zeros: \(x = k\pi\) para \(k \in \mathbb{Z}\)
Cosseno \(g(x) = \cos x\)
Começa em 1, desce a 0 em \(\frac{\pi}{2}\), atinge −1 em \(\pi\),
sobe a 0 em \(\frac{3\pi}{2}\), retorna a 1 em \(2\pi\).
Zeros: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) para \(k \in \mathbb{Z}\)
Relação entre seno e cosseno:
\(\cos x = \operatorname{sen}\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\) —
o cosseno é o seno deslocado \(\frac{\pi}{2}\) à esquerda.
tg
Função Tangente
Período π e assíntotas verticais
A tangente é definida como a razão entre seno e cosseno:
\[
\operatorname{tg} x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}
\]
A função não está definida quando \(\cos x = 0\),
ou seja, nos pontos \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Nesses pontos há assíntotas verticais.
Domínio
\(\mathbb{R} \setminus \!\left\{\frac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\)
Imagem
\(\mathbb{R}\) (assume qualquer valor real)
Período
\(\pi\) (metade do período de seno/cosseno)
Crescimento
Crescente em cada intervalo do domínio
Valores notáveis
\(\operatorname{tg} 0° = 0\)
\(\operatorname{tg} 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577\)
\(\operatorname{tg} 45° = 1\)
\(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732\)
Id
Identidades Trigonométricas
Relações fundamentais entre seno, cosseno e tangente
A identidade fundamental decorre diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado
ao círculo unitário (hipotenusa = 1):
\[
\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1
\]
Identidades derivadas
Dividindo tudo por \(\cos^2 x\):
\(\operatorname{tg}^2 x + 1 = \sec^2 x\)
onde \(\sec x = \dfrac{1}{\cos x}\)
Dividindo tudo por \(\operatorname{sen}^2 x\):
\(1 + \operatorname{cotg}^2 x = \csc^2 x\)
onde \(\operatorname{cotg} x = \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\) e \(\csc x = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}\)
Relação fundamental da tangente
\[\operatorname{tg} x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\]
Uso das identidades — exemplos
Dado \(\operatorname{sen} x = \dfrac{3}{5}\) com \(x\) no 1º quadrante, calcule \(\cos x\).
\(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1\)
\(\dfrac{9}{25} + \cos^2 x = 1\)
\(\cos^2 x = \dfrac{16}{25}\)
\(\cos x = \dfrac{4}{5}\) (positivo no 1º quadrante)
Simplifique: \(\dfrac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x}\)
\(= \dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(= \sec^2 x = 1 + \operatorname{tg}^2 x\)
Ângulos suplementares:
\(\operatorname{sen}(180° - \theta) = \operatorname{sen}\theta\) e \(\cos(180° - \theta) = -\cos\theta\).
Ângulos opostos: \(\operatorname{sen}(-\theta) = -\operatorname{sen}\theta\) e \(\cos(-\theta) = \cos\theta\).
Ângulos opostos: \(\operatorname{sen}(-\theta) = -\operatorname{sen}\theta\) e \(\cos(-\theta) = \cos\theta\).
