A função afim é uma função \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\(f(x) = ax + b\), onde \(a, b \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\).
No plano cartesiano, a função afim é representada por uma reta não horizontal
de equação \(y = ax + b\). Por isso também é chamada de função de 1º grau.
O valor de \(a\) é o coeficiente angular —
representa a inclinação da reta (taxa de variação). O valor de \(b\)
é o coeficiente linear — é o valor de \(f(0)\), ou seja, o ponto
onde a reta cruza o eixo \(y\).
Exemplo
Dada \(f(x) = 3x + 4\): \(a = 3\) e \(b = 4\)
\(f(2) = 3 \cdot 2 + 4 = 6 + 4\)
\(f(2) = 10\)
Dados dois pontos \(A = (x_A, y_A)\) e \(B = (x_B, y_B)\) pertencentes à reta,
o coeficiente angular é a razão entre a variação de \(y\) e a variação de \(x\):
\(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
Exemplos
Dados \(A = (2, 3)\) e \(B = (3, 5)\)
\(a = \dfrac{5 - 3}{3 - 2} = \dfrac{2}{1}\)
\(a = 2\) → função crescente
A cada 1 unidade em \(x\), \(y\) aumenta 2.
Dados \(A = (1, 4)\) e \(B = (3, 0)\)
\(a = \dfrac{0 - 4}{3 - 1} = \dfrac{-4}{2}\)
\(a = -2\) → função decrescente
A cada 1 unidade em \(x\), \(y\) diminui 2.
O coeficiente linear \(b\) é o valor de \(f(0)\) — ponto onde a reta corta o eixo \(y\).
Para calculá-lo a partir de dois pontos: encontre \(a\) primeiro, depois substitua
as coordenadas de qualquer ponto na equação \(y = ax + b\) e isole \(b\).
\(b = y - a \cdot x\)
Exemplo 1 — cálculo direto
A reta passa por \((2, 7)\) e tem \(a = 3\). Calcule \(b\).
\(b = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6\)
\(b = 1 \;\Rightarrow\; f(x) = 3x + 1\)
Exemplo 2 — determinando a função pelo gráfico
O gráfico abaixo passa pelos pontos \((-5,\,-4)\) e \((5,\,6)\).
Determine \(f(x) = ax + b\).
Passo 1 — Coeficiente angular:
\(a = \dfrac{6 - (-4)}{5 - (-5)} = \dfrac{10}{10}\)
\(a = 1\)
Passo 2 — Coeficiente linear (usando o ponto \((5, 6)\)):
\(6 = 1 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 6 - 5\)
\(b = 1 \;\Rightarrow\; f(x) = x + 1\)
O zero da função afim é o valor de \(x\) para o qual \(f(x) = 0\).
Geometricamente, é o ponto onde a reta intercepta o eixo \(x\).
\(f(x) = 0 \;\Rightarrow\; ax + b = 0 \;\Rightarrow\; x_0 = -\dfrac{b}{a}\)
O zero existe para qualquer função afim (com \(a \neq 0\)) e é único,
pois uma reta não horizontal intercepta o eixo \(x\) em exatamente um ponto.
Exemplos
Calcule o zero de \(f(x) = 2x - 6\)
\(2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6\)
\(x_0 = 3\)
A reta cruza o eixo \(x\) no ponto \((3, 0)\).
Calcule o zero de \(f(x) = -3x + 9\)
\(-3x + 9 = 0 \Rightarrow -3x = -9\)
\(x_0 = 3\)
Calcule o zero de \(f(x) = x + 1\) (do exemplo anterior)
\(x + 1 = 0\)
\(x_0 = -1\)
O sinal de \(f(x)\) muda no zero da função \(x_0 = -b/a\) e depende
do sinal do coeficiente angular \(a\).
Se \(a > 0\) (função crescente):
\(f(x) < 0\) para \(x < x_0\)
\(f(x) = 0\) para \(x = x_0\)
\(f(x) > 0\) para \(x > x_0\)
Se \(a < 0\) (função decrescente):
\(f(x) > 0\) para \(x < x_0\)
\(f(x) = 0\) para \(x = x_0\)
\(f(x) < 0\) para \(x > x_0\)
Exemplo — resolução de inequação
Para quais valores de \(x\) temos \(2x - 6 > 0\)?
Zero: \(x_0 = 3\). Como \(a = 2 > 0\) (crescente):
\(f(x) > 0\) quando \(x > x_0\)
Solução: \(x > 3\), ou seja, \(x \in (3, +\infty)\)
Para quais valores de \(x\) temos \(-3x + 9 \geq 0\)?
Zero: \(x_0 = 3\). Como \(a = -3 < 0\) (decrescente):
\(f(x) \geq 0\) quando \(x \leq x_0\)
Solução: \(x \leq 3\), ou seja, \(x \in (-\infty, 3]\)
Função Linear — \(b = 0\)
\(f(x) = ax\) — a reta passa pela origem \((0, 0)\)
Exemplo: \(f(x) = 5x\) → zero em \(x_0 = 0\)
É um caso especial da função afim.
Função Constante — \(a = 0\)
\(f(x) = b\) — reta horizontal, mesmo valor para todo \(x\)
Exemplo: \(f(x) = 4\) → nunca cruza o eixo \(x\) (sem zero)
Não é função afim pois \(a = 0\).
Atenção: toda função linear é afim, mas nem toda função afim é linear.
A função constante não é afim e não é linear.
Estratégia: (1) identificar a taxa de variação (\(a\)) e o valor
inicial (\(b\)); (2) montar a função \(f(x) = ax + b\);
(3) responder às perguntas do problema.
Problema 1 — Táxi
Um táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada e R$ 2,50 por quilômetro rodado.
Qual é o valor da corrida para \(x\) quilômetros? A partir de quantos km a corrida
ultrapassa R$ 30,00?
Taxa de variação: \(a = 2{,}50\) (R$/km). Valor inicial: \(b = 5\).
\(f(x) = 2{,}50x + 5\)
Para \(f(x) > 30\): \(2{,}50x + 5 > 30 \Rightarrow 2{,}50x > 25\)
\(x > 10\) km
Problema 2 — Temperatura
A temperatura de uma peça resfriada decresce de forma linear, partindo de \(80°C\)
e perdendo \(5°C\) por minuto. Após quantos minutos a temperatura atinge \(30°C\)?
\(a = -5\) (queda por minuto), \(b = 80\): \(\;T(x) = -5x + 80\)
\(-5x + 80 = 30 \Rightarrow -5x = -50\)
\(x = 10\) minutos
