Avançado
Função Quadrática
Explore a função quadrática f(x) = ax² + bx + c como parábola. Determine vértice, eixo de simetria, domínio, imagem e intervalos de crescimento. Aplique em otimização: máximo lucro, mínimo custo e trajetórias.
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Def
Função Quadrática
\(f(x) = ax^2 + bx + c\), com \(a \neq 0\)
A função quadrática (ou função do 2º grau) é definida por
\(f(x) = ax^2 + bx + c\), onde \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\).
O domínio é \(\mathbb{R}\) e o gráfico é uma parábola.
Diferença importante: a equação \(ax^2 + bx + c = 0\) pergunta quando
\(f(x) = 0\). A função \(f(x)\) descreve o comportamento completo — para todos os valores de \(x\).
Graf
Gráfico — A Parábola
Concavidade, eixo de simetria e posição em relação ao eixo x
O sinal de \(a\) determina a concavidade:
se \(a > 0\) a parábola abre para cima (mínimo no vértice);
se \(a < 0\) abre para baixo (máximo no vértice).
\(\Delta > 0\) — dois zeros
A parábola cruza o eixo \(x\) em dois pontos \(x_1\) e \(x_2\).
\(\Delta = 0\) — tangente ao eixo
A parábola toca o eixo \(x\) apenas no vértice: raiz dupla \(x_v\).
\(\Delta < 0\) — não cruza o eixo
A parábola fica inteiramente acima (\(a > 0\)) ou abaixo (\(a < 0\)) do eixo \(x\).
O eixo de simetria é a reta vertical \(x = x_v = \dfrac{-b}{2a}\).
As raízes, quando existem, são simétricas em relação a esse eixo.
V
Vértice da Parábola
Ponto de máximo ou mínimo da função
O vértice \(V(x_v, y_v)\) é onde a parábola muda de sentido.
\[x_v = \dfrac{-b}{2a} \qquad\qquad y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}\]
Exemplo — \(f(x) = x^2 - 10x + 9\)
\(a=1,\; b=-10,\; c=9 \;\Rightarrow\; \Delta = 100 - 36 = 64\)
\(x_v = \dfrac{10}{2} = 5 \qquad y_v = \dfrac{-64}{4} = -16\)
Vértice: \(V(5,\,-16)\) — ponto mínimo (\(a > 0\))
f(x)=0
Zeros da Função
Pontos onde a parábola cruza o eixo x
Os zeros de \(f\) são os valores de \(x\) onde \(f(x) = 0\),
ou seja, as raízes da equação \(ax^2 + bx + c = 0\), calculadas por Bhaskara.
Geometricamente, são os pontos de interseção com o eixo \(x\).
\(\Delta > 0\): dois zeros distintos \(x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) e \(x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\Delta = 0\): um zero duplo \(x_v = \dfrac{-b}{2a}\)
\(\Delta < 0\): nenhum zero real
Forma fatorada (quando \(\Delta \geq 0\)):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Exemplo — \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\)
\(\Delta = 64 - 48 = 16 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8 \pm 4}{4}\)
\(x_1 = 1,\quad x_2 = 3\)
Forma fatorada: \(f(x) = 2(x-1)(x-3)\)
±
Estudo do Sinal
Quando \(f(x)\) é positiva, nula ou negativa
Dados \(\Delta > 0\) com zeros \(x_1 < x_2\), o sinal depende de \(a\) e da posição de \(x\):
Se \(a > 0\) (concavidade ↑):
\(f(x) > 0\) para \(x < x_1\) ou \(x > x_2\)
\(f(x) < 0\) para \(x_1 < x < x_2\) (entre as raízes)
Se \(a < 0\) (concavidade ↓):
\(f(x) < 0\) para \(x < x_1\) ou \(x > x_2\)
\(f(x) > 0\) para \(x_1 < x < x_2\) (entre as raízes)
Se \(\Delta < 0\): \(f(x)\) tem sinal constante — igual ao sinal de \(a\) — para todo \(x \in \mathbb{R}\).
D/Im
Domínio, Imagem e Variação
Crescimento, decrescimento e imagem em função do vértice
\(D(f) = \mathbb{R}\). A imagem é limitada pelo vértice \(y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}\):
\[\text{Im}(f) = \begin{cases} [y_v,\; +\infty) & \text{se } a > 0 \\ (-\infty,\; y_v] & \text{se } a < 0 \end{cases}\]
Intervalos de crescimento / decrescimento
\(a > 0\): decrescente em \((-\infty,\, x_v]\), crescente em \([x_v,\, +\infty)\)
\(a < 0\): crescente em \((-\infty,\, x_v]\), decrescente em \([x_v,\, +\infty)\)
Exemplo — \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
\(a=1 > 0,\; \Delta = 4,\; x_v = 2,\; y_v = -1\)
\(D(f) = \mathbb{R} \qquad \text{Im}(f) = [-1,\, +\infty)\)
Decrescente em \((-\infty,\, 2]\), crescente em \([2,\, +\infty)\)
Opt
Aplicações de Otimização
Máximo e mínimo em situações reais
O vértice fornece o valor ótimo (máximo ou mínimo) de \(f\).
Identifique \(a\), \(b\), \(c\) da situação, calcule \(x_v\) e \(y_v\).
Problema 1 — altura máxima de projétil
\(h(t) = -5t^2 + 20t\) (metros). Qual a altura máxima e quando ocorre?
\(a = -5 < 0\) → máximo no vértice
\(t_v = \dfrac{-20}{2(-5)} = 2\,\text{s}\)
\(h_{\max} = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = \)20 m
Problema 2 — maximizar área
Uma cerca de 40 m fecha um retângulo. Maximize a área.
Largura \(x\), comprimento \(20 - x\) (semi-perímetro = 20)
\(A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x\)
\(x_v = \dfrac{-20}{-2} = 10 \;\Rightarrow\; A_{\max} = 10 \times 10 = \)100 m²
Problema 3 — lucro máximo
Lucro: \(L(x) = -2x^2 + 80x - 600\) (R$ por unidade). Qual a produção ótima?
\(x_v = \dfrac{-80}{-4} = 20\) unidades
\(L_{\max} = -2(400) + 80(20) - 600 = -800 + 1600 - 600 = \)R$ 200
