Pratique Já

Def

Conceitos Iniciais

População, amostra e tipos de variável

A estatística organiza e interpreta dados para auxiliar na tomada de decisões. O ponto de partida é distinguir o conjunto total de elementos (população) do subconjunto efetivamente observado (amostra).

Tipos de variável

Quantitativa discreta — valores inteiros contáveis (qtd. de filhos, número de gols)
Quantitativa contínua — qualquer valor num intervalo (altura, temperatura, tempo)
Qualitativa nominal — categorias sem ordem natural (cor dos olhos, estado civil)
Qualitativa ordinal — categorias com ordem definida (escolaridade: fundamental < médio < superior)

Classifique: "número de gols em uma partida". Assume valores 0, 1, 2, … (inteiros contáveis). Quantitativa discreta

Classifique: "tempo de reação em segundos". Pode assumir 0,31 s; 0,312 s; … qualquer valor → contínua. Quantitativa contínua

Classifique: "satisfação: ruim, regular, bom, ótimo". Categorias com ordem definida. Qualitativa ordinal

Méd

Medidas de Tendência Central

Média, mediana e moda

As medidas de tendência central indicam um valor representativo do conjunto. As três principais são a média aritmética, a mediana e a moda.

Média aritmética simples

Soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos \(n\):

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]

Média aritmética ponderada

Cada valor \(x_i\) recebe um peso \(w_i\):

\[ \bar{x}_p = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} \]

Mediana (Me)

Valor central do rol (dados em ordem crescente):

\(n\) ímpar: elemento da posição \(\dfrac{n+1}{2}\)
\(n\) par: média dos elementos das posições \(\dfrac{n}{2}\) e \(\dfrac{n}{2}+1\)

Moda (Mo)

Valor que aparece com maior frequência. Um conjunto pode ser amodal (sem moda), unimodal, bimodal etc.

Notas de 5 alunos: 5, 6, 6, 7, 10. Calcule \(\bar{x}\), Me e Mo. \(\bar{x} = \dfrac{5+6+6+7+10}{5} = \dfrac{34}{5}\) \(\bar{x} = 6{,}8\) \(n = 5\) (ímpar) → posição \(\dfrac{5+1}{2} = 3\) → Me = 6 Me = 6 Mo = 6 (aparece 2×)

Médias ponderadas: N₁ = 7 (peso 2), N₂ = 5 (peso 3), N₃ = 8 (peso 5). \(\bar{x}_p = \dfrac{7 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 8 \cdot 5}{2+3+5} = \dfrac{14+15+40}{10} = \dfrac{69}{10}\) \(\bar{x}_p = 6{,}9\)

Quando usar cada uma? A média é influenciada por valores extremos (outliers); a mediana é mais robusta nesses casos. A moda indica o valor mais típico da distribuição.

Dis

Medidas de Dispersão

Amplitude, variância e desvio padrão

Duas turmas podem ter a mesma média e ser muito diferentes entre si. As medidas de dispersão quantificam o quanto os dados se afastam do valor central.

Amplitude total

\[ A = x_{\max} - x_{\min} \]

Variância (\(\sigma^2\)) e desvio padrão (\(\sigma\))

O desvio de cada valor em relação à média é \(d_i = x_i - \bar{x}\). A variância é a média dos quadrados desses desvios:

\[ \sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} \]

O desvio padrão \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\) tem a mesma unidade dos dados, facilitando a interpretação prática.

Notas de 5 alunos: 4, 6, 7, 8, 10. Calcule \(A\), \(\sigma^2\) e \(\sigma\). \(\bar{x} = \dfrac{4+6+7+8+10}{5} = \dfrac{35}{5} = 7\) \(A = 10 - 4 = 6\) Desvios: \(-3,\; -1,\; 0,\; +1,\; +3\) \(\sigma^2 = \dfrac{(-3)^2+(-1)^2+0^2+1^2+3^2}{5} = \dfrac{9+1+0+1+9}{5} = \dfrac{20}{5} = 4\) \(\sigma = \sqrt{4} = 2\)

Regra prática: \(\sigma\) pequeno indica dados concentrados perto da média; \(\sigma\) grande indica dados espalhados. No ENEM, basta saber calcular \(\sigma^2\) a partir dos desvios e extrair a raiz quadrada.

Fr

Distribuição de Frequências

Frequência absoluta, relativa e acumulada

Quando há muitos dados, organizamos em uma tabela de distribuição de frequências. Cada intervalo de classe \([a, b)\) agrupa os valores com \(a \leq x < b\).

Definições

\(f_i\) — frequência absoluta: quantidade de dados na classe \(i\)
\(fr_i = f_i \,/\, n\) — frequência relativa: proporção (0 a 1)
\(F_i = f_1 + f_2 + \cdots + f_i\) — frequência acumulada

Exemplo — notas de 10 alunos

Classe	\(f_i\)	\(fr_i\)	\(F_i\)
[0, 2)	1	0,10	1
[2, 4)	2	0,20	3
[4, 6)	4	0,40	7
[6, 8)	2	0,20	9
[8, 10]	1	0,10	10
Total	10	1,00	—

Leitura: \(F_3 = 7\) significa que 7 alunos obtiveram nota abaixo de 6 (três primeiras classes). \(fr_3 = 0{,}40\) indica que 40% dos alunos estão na classe [4, 6).

Grá

Gráficos Estatísticos

Histograma, polígono de frequências e boxplot

Representações gráficas revelam padrões que tabelas numéricas ocultam. Os três tipos mais cobrados no ENEM são o histograma, o polígono de frequências e o boxplot.

Histograma e Polígono de Frequências

O histograma representa as frequências por barras justapostas (sem espaço entre elas), uma por classe. O polígono de frequências é obtido ligando os pontos médios do topo de cada barra.

Histograma com 5 barras simétricas (fi=1,2,4,2,1) e polígono de frequências ligando os pontos médios

Boxplot (diagrama de caixa)

O boxplot resume a distribuição em cinco valores: mínimo, \(Q_1\), mediana (\(Q_2\)), \(Q_3\) e máximo. A caixa vai de \(Q_1\) a \(Q_3\); a linha interna indica a mediana; os bigodes se estendem ao mínimo e ao máximo.

Dados em ordem crescente: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (\(n = 7\)). \(Q_2\) (mediana): posição 4 → \(Q_2 = 6\) Metade inferior \(\{2, 4, 5\}\) → \(Q_1 = 4\) Metade superior \(\{7, 8, 9\}\) → \(Q_3 = 8\) Mín = 2 \(Q_1\) = 4 \(Q_2\) = 6 \(Q_3\) = 8 Máx = 9

Amplitude interquartílica: \(IQR = Q_3 - Q_1\). Valores fora do intervalo \([Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR,\; Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR]\) são considerados outliers e aparecem como pontos isolados no boxplot.

Estatística