PratiqueJá PJ
Produtos
Básico

Racionais

Mergulhe no universo dos números racionais. Aprenda frações equivalentes, simplificação, comparação e as quatro operações com frações. Converta entre fração, decimal e porcentagem e resolva problemas do cotidiano.
Exercícios 60
Questões 1735
PDF's 91
Progresso 0%
0 exercícios resolvidos · 0 questões respondidas
Racionais
Teoria
Exercícios
Questões
PDFs
Def
Conjunto dos Racionais
Frações, decimais e inteiros
\[\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z}^* \right\}\]

Todo número racional pode ser escrito como fração \(\frac{a}{b}\), onde \(a\) é o numerador e \(b\) é o denominador (\(b \neq 0\)). Ao efetuar a divisão, o resultado pode ser:

Número inteiro \(\dfrac{6}{2} = 3\) \(\dfrac{-10}{5} = -2\)
Decimal exato \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
Dízima periódica simples (período imediatamente após a vírgula) \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\) \(\dfrac{7}{11} = 0{,}6363\ldots = 0{,}\overline{63}\)
Dízima periódica composta (parte não periódica antes do período) \(\dfrac{7}{12} = 0{,}5833\ldots = 0{,}58\overline{3}\) \(\dfrac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8\overline{3}\)
Tipos
Tipos de Fração
Própria, imprópria, aparente e mista
Fração Própria — numerador menor que o denominador \(\dfrac{2}{6},\quad\dfrac{3}{4},\quad\dfrac{5}{9}\) Resultado sempre entre 0 e 1 (ou entre −1 e 0)
Fração Imprópria — numerador maior que o denominador \(\dfrac{7}{2},\quad\dfrac{5}{3},\quad\dfrac{8}{5}\) Resultado maior que 1 (em módulo). Pode ser convertida em mista.
Fração Aparente — numerador é múltiplo do denominador (resultado inteiro) \(\dfrac{8}{2}=4,\quad\dfrac{6}{3}=2,\quad\dfrac{12}{4}=3\) Todo inteiro \(n\) é racional: \(n = \dfrac{n}{1}\)
Fração Mista — parte inteira + fração própria \(2\dfrac{3}{5},\quad 4\dfrac{1}{3},\quad 3\dfrac{3}{7}\) Conversão: \(2\dfrac{3}{5} = \dfrac{2\times5+3}{5} = \dfrac{13}{5}\)
=
Frações Equivalentes e Simplificação
Multiplicar/dividir numerador e denominador pelo mesmo valor
\[\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad (k \neq 0)\]

Duas frações são equivalentes quando representam o mesmo valor. Multiplicar (ou dividir) numerador e denominador por um mesmo número não altera o valor da fração.

Amplificação — multiplicar por \(k\)

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1\times2}{3\times2} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1\times4}{3\times4} = \dfrac{4}{12}\) Todas equivalentes: \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\)

Simplificação — dividir pelo MDC

Divida numerador e denominador pelo MDC (Máximo Divisor Comum) até obter a fração irredutível (MDC = 1).
\(\dfrac{12}{18}\) — MDC\((12,18) = 6\) \(\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}\) Fração irredutível: \(\dfrac{2}{3}\) (MDC = 1)
\(\dfrac{30}{45}\) — MDC\((30,45) = 15\) \(\dfrac{30 \div 15}{45 \div 15} = \dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{30}{45} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\) — todas equivalentes
Conv
Conversão: Mista ↔ Imprópria
Transformar fração mista em imprópria e vice-versa

Mista → Imprópria

\[n\frac{p}{q} = \frac{n \times q + p}{q}\]
\(3\dfrac{2}{5} = \dfrac{3\times5+2}{5} = \dfrac{17}{5}\) Multiplica o inteiro pelo denominador e soma o numerador
\(4\dfrac{1}{3} = \dfrac{4\times3+1}{3} = \dfrac{13}{3}\) \(= 4{,}333\ldots\)

Imprópria → Mista (divisão euclidiana)

Divida o numerador pelo denominador: o quociente é a parte inteira, o resto é o novo numerador. \[\frac{a}{b} \;\Rightarrow\; a \div b = q \text{ (resto } r\text{)} \;\Rightarrow\; q\frac{r}{b}\]
\(\dfrac{17}{5}\) — divide: \(17 \div 5 = 3\) (resto \(2\)) \(= 3\dfrac{2}{5}\)
\(\dfrac{22}{7}\) — divide: \(22 \div 7 = 3\) (resto \(1\)) \(= 3\dfrac{1}{7}\)
< >
Comparação de Frações
Qual fração é maior?

Mesmo denominador — compare os numeradores

\(\dfrac{3}{7}\) vs \(\dfrac{5}{7}\) Denominadores iguais: compare \(3\) e \(5\) \(\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}\)

Denominadores diferentes — reduza ao MMC

\(\dfrac{3}{4}\) vs \(\dfrac{5}{6}\) — MMC\((4,6)=12\) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} \qquad \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\) \(\dfrac{9}{12} < \dfrac{10}{12} \;\Rightarrow\; \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}\)

Método rápido — produto cruzado

\[\frac{a}{b} \;\square\; \frac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; a\times d \;\square\; c\times b\]
\(\dfrac{3}{4}\) vs \(\dfrac{5}{6}\) \(3\times6 = 18 \qquad 5\times4 = 20\) \(18 < 20 \;\Rightarrow\; \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{7}{9}\) vs \(\dfrac{5}{6}\) \(7\times6 = 42 \qquad 5\times9 = 45\) \(42 < 45 \;\Rightarrow\; \dfrac{7}{9} < \dfrac{5}{6}\)
0,\(\overline{\phantom{0}}\)
Dízima Periódica → Fração
Técnica da equação: eliminar o período

Chame a dízima de \(x\). Multiplique por uma potência de 10 que faça os períodos se alinharem e subtraia.

Dízima simples — período imediatamente após a vírgula

\(x = 0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots\) \(10x = 3{,}333\ldots\) \(10x - x = 3{,}333\ldots - 0{,}333\ldots\) \(9x = 3\) \(x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
\(x = 0{,}\overline{63} = 0{,}6363\ldots\) \(100x = 63{,}6363\ldots\) \(100x - x = 63\) \(99x = 63\) \(x = \dfrac{63}{99} = \dfrac{7}{11}\)

Dízima composta — há parte não periódica antes do período

\(x = 0{,}58\overline{3} = 0{,}5833\ldots\) (1 não periódico, 1 periódico) \(10x = 5{,}8\overline{3} \qquad 100x = 58{,}\overline{3}\) \(100x - 10x = 58{,}333\ldots - 5{,}833\ldots\) \(90x = 52{,}5 \;\Rightarrow\; 900x = 525\) \(x = \dfrac{525}{900} = \dfrac{7}{12}\)
Atalho: Fração = \(\dfrac{\text{número com período} - \text{número sem período}}{\underbrace{9\ldots9}_{\text{dígitos do período}}\underbrace{0\ldots0}_{\text{dígitos não periódicos}}}\). Ex.: \(0{,}58\overline{3} = \dfrac{583-58}{900} = \dfrac{525}{900} = \dfrac{7}{12}\).
+/−
Soma e Subtração de Frações
Denominadores iguais e diferentes

Denominadores iguais — some/subtraia os numeradores

\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}\]
\(\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\)

Denominadores diferentes — Método MMC

Calcule o MMC dos denominadores. Divida o MMC por cada denominador e multiplique pelo respectivo numerador. Some/subtraia com o novo denominador comum.
\(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\) — MMC\((3,4) = 12\) \(\dfrac{2\times4}{12} + \dfrac{1\times3}{12} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12}\) \(= \dfrac{11}{12}\)

Denominadores diferentes — Método Cruzado (mais rápido para 2 frações)

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \times d) + (c \times b)}{b \times d}\] \[\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{(a \times d) - (c \times b)}{b \times d}\]
Soma: \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\) \(= \dfrac{(2\times4)+(1\times3)}{3\times4} = \dfrac{8+3}{12}\) \(= \dfrac{11}{12}\)
Subtração: \(\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{7}\) \(= \dfrac{(5\times7)-(3\times2)}{2\times7} = \dfrac{35-6}{14}\) \(= \dfrac{29}{14}\)
Quando usar cada método: o MMC é mais eficiente quando os denominadores têm fatores comuns (ex.: 4 e 6 → MMC = 12, não 24). O método cruzado é mais direto para denominadores primos entre si.
×/÷
Multiplicação e Divisão de Frações
Numerador com numerador, denominador com denominador

Multiplicação — numerador × numerador, denominador × denominador

\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\]
\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2\times3}{3\times4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{5}{2} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{14}\)

Divisão — multiplica pelo inverso (fração invertida)

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}\]
\(\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{4} = \dfrac{12}{12} = 1\) \(\dfrac{\;^3\!/_4}{\;^8\!/_5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{32}\)
Simplificação antes de multiplicar: é possível simplificar entre numerador e denominador de frações diferentes antes de efetuar a multiplicação. Ex.: \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}\) — o 3 cancela: \(\dfrac{2}{1}\times\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
aⁿ
Potenciação de Frações
Eleva numerador e denominador ao mesmo expoente
\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}\]
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27}\) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}\)
Expoente zero: \(\left(\dfrac{5}{7}\right)^0 = 1\) Qualquer fração não nula elevada a 0 é igual a 1
Expoente negativo: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\) \(= \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\) Expoente negativo → inverte a fração, depois eleva
Mista
Operações com Frações Mistas
Converta para imprópria antes de operar

O procedimento padrão é converter as mistas em impróprias, efetuar a operação e, se necessário, converter o resultado de volta para mista.

Soma: \(2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{3}{4}\) Converter: \(\dfrac{7}{3} + \dfrac{7}{4}\) — MMC\((3,4)=12\) \(= \dfrac{28}{12} + \dfrac{21}{12} = \dfrac{49}{12}\) \(= 4\dfrac{1}{12}\)
Multiplicação: \(1\dfrac{1}{2} \times 2\dfrac{2}{3}\) Converter: \(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{8}{3}\) Simplificar: \(\dfrac{\cancel{3}}{2} \times \dfrac{8}{\cancel{3}} = \dfrac{8}{2}\) \(= 4\)
Em somas de mistas com denominadores iguais, é possível somar as partes inteiras separadamente e as fracionárias separadamente, reagrupando ao final, mas a conversão para imprópria é sempre segura.
Prob
Problemas Contextualizados
Receitas, áreas, velocidade e desconto
Receita: Uma receita pede \(\dfrac{3}{4}\) de xícara de farinha. Para fazer \(\dfrac{1}{2}\) da receita, quantas xícaras são necessárias? \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}\) xícara Multiplica a quantidade pela fração da receita desejada.
Área: Um jardim retangular mede \(2\dfrac{1}{2}\,\text{m}\) por \(1\dfrac{3}{4}\,\text{m}\). Qual a área? \(\dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{35}{8} = 4\dfrac{3}{8}\,\text{m}^2\) Área = comprimento × largura (ambos convertidos para imprópria).
Velocidade média: Um ciclista percorre \(\dfrac{5}{2}\,\text{km}\) em \(\dfrac{1}{4}\,\text{h}\). Qual a velocidade? \(v = \dfrac{5}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{20}{2} = 10\,\text{km/h}\) Velocidade = distância ÷ tempo.
Desconto: Um produto custa R$ 120. Há desconto de \(\dfrac{1}{5}\) do preço. Qual o valor do desconto e o preço final? Desconto: \(120 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{120}{5} = 24\) Preço final: \(120 - 24 = 96\) → R$ 96
!
Erros Comuns
Armadilhas frequentes com frações
Somar denominadores: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\) Correto: MMC\((2,3)=6 \;\Rightarrow\; \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}\)
Não inverter na divisão: \(\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5} \neq \dfrac{2\times4}{3\times5} = \dfrac{8}{15}\) Correto: \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}\)
Não simplificar o resultado: \(\dfrac{6}{9}\) — resposta incompleta Correto: MDC\((6,9)=3 \;\Rightarrow\; \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
Operar com mista diretamente: \(2\dfrac{1}{3} \times 3 \neq 6\dfrac{3}{3} = 7\) Correto: \(\dfrac{7}{3} \times 3 = \dfrac{21}{3} = 7\) ✓ (coincide, mas o processo errado falha em casos gerais)
ℝ
Números Irracionais e Reais
Dízimas não periódicas e o conjunto ℝ
Um número irracional é aquele que não pode ser escrito como fração \(\dfrac{a}{b}\) com \(a, b \in \mathbb{Z}\) e \(b \neq 0\). Em decimal, aparece como uma dízima não periódica e infinita — sem bloco de algarismos que se repita.

Exemplos de irracionais famosos

  • \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) — demonstrado irracional pelos pitagóricos
  • \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) — razão entre circunferência e diâmetro
  • \(e = 2{,}71828182\ldots\) — base do logaritmo natural
  • \(\sqrt{3},\; \sqrt{5},\; \sqrt{7}\) — raízes de inteiros não quadrados perfeitos

Conjunto dos Reais (\(\mathbb{R}\))

O conjunto dos reais é a união dos racionais com os irracionais, "preenchendo" completamente a reta numérica:

\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \qquad \text{com} \qquad \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \]

Diagrama de inclusão

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
  • \(\mathbb{N}\) — naturais: \(0, 1, 2, 3, \ldots\)
  • \(\mathbb{Z}\) — inteiros: \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\)
  • \(\mathbb{Q}\) — racionais: frações e dízimas periódicas
  • \(\mathbb{I}\) — irracionais: \(\sqrt{2},\; \pi,\; e,\ldots\) (fora de \(\mathbb{Q}\))
  • \(\mathbb{R}\) — reais: todos os pontos da reta numérica
Classifique \(\sqrt{9}\). \(\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}\) Natural, inteiro, racional e real
Classifique \(\sqrt{2}\). Não é fração; dízima não periódica. Irracional (portanto real, mas não racional)
Classifique \(-\dfrac{5}{3}\). Fração com \(a, b \in \mathbb{Z}\). Racional e real, mas não inteiro
Como identificar irracionais: \(\sqrt{n}\) é irracional sempre que \(n\) não for um quadrado perfeito. Quadrados perfeitos de 1 a 100: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.