Uma matriz de ordem \(n \times m\) é uma tabela retangular com \(n\) linhas e \(m\) colunas,
cujos elementos são denotados por \(a_{i,j}\), onde \(i\) indica a linha e \(j\) indica a coluna.
As matrizes são ferramentas fundamentais na álgebra linear e são amplamente usadas em matemática,
física, estatística e programação. Elas permitem representar e resolver sistemas de equações,
transformações geométricas, redes e muito mais.
Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas (\(n = m\)).
A matriz identidade \(I_n\) é a matriz quadrada de ordem \(n\) com 1 na diagonal
principal e 0 nos demais elementos:
\[
I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
Duas matrizes só podem ser somadas se tiverem a mesma ordem
(mesmo número de linhas e colunas). A soma é realizada elemento por elemento.
\[
A_{(n\times m)} + B_{(n\times m)} = C_{(n\times m)}, \quad
c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}, \;\forall\; i,j
\]
Exemplo
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
\]
\[
A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}
\]
Propriedades
Comutativa: \(A + B = B + A\)
Associativa: \((A + B) + C = A + (B + C)\)
Elemento neutro: \(A + O = A\) (onde \(O\) é a matriz nula)
Assim como na soma, as matrizes devem ter a mesma ordem.
Subtrai-se elemento por elemento.
\[
A_{(n\times m)} - B_{(n\times m)} = C_{(n\times m)}, \quad
c_{i,j} = a_{i,j} - b_{i,j}, \;\forall\; i,j
\]
Exemplo
Usando as mesmas matrizes \(A\) e \(B\) da seção anterior:
\[
A - B = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}
\]
Multiplica-se cada elemento da matriz por um número real chamado escalar.
\[
k \cdot A_{(n\times m)} = B_{(n\times m)}, \quad b_{i,j} = k \cdot a_{i,j}, \;\forall\; i,j
\]
Exemplo
\[
3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 3\cdot1 & 3\cdot2 \\ 3\cdot3 & 3\cdot4 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix}
\]
Propriedades
\(k(A + B) = kA + kB\)
\((k + l)A = kA + lA\)
\(k(lA) = (kl)A\)
\(1 \cdot A = A\)
A transposta de \(A\) é obtida trocando as linhas por colunas.
Se \(A\) tem ordem \(n \times m\), então \(A^T\) tem ordem \(m \times n\).
\[
A = (a_{i,j})_{(n\times m)} \implies A^T = (a_{j,i})_{(m\times n)}
\]
Exemplo
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}_{3\times 2}
\implies
A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}_{2\times 3}
\]
Propriedades
\((A^T)^T = A\)
\((A + B)^T = A^T + B^T\)
\((k \cdot A)^T = k \cdot A^T\)
\((A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T\)
Uma matriz é dita simétrica quando \(A = A^T\),
e antissimétrica quando \(A = -A^T\).
Para multiplicar \(A \cdot B\), o número de colunas de \(A\) deve ser igual
ao número de linhas de \(B\). Cada elemento da matriz resultante é a soma
dos produtos linha-coluna correspondentes.
\[
A_{(n\times m)} \cdot B_{(m\times p)} = C_{(n\times p)}, \quad
c_{ij} = \sum_{k=1}^{m} a_{ik} \cdot b_{kj}, \;\forall\; i,j
\]
Exemplo
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
\]
\[
A \cdot B = \begin{bmatrix}
1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\
3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
\]
Atenção
Em geral, \(A \cdot B \neq B \cdot A\) (não é comutativa)
\(A \cdot I = I \cdot A = A\) (identidade é elemento neutro)
\(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\) (distributiva)
O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Ele indica, entre outras coisas,
se a matriz possui inversa: a matriz tem inversa se e somente se \(\det A \neq 0\).
Determinante 2×2
Dada uma matriz \(A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{bmatrix}\), o determinante é:
\[
\det A = a_{1,1} \cdot a_{2,2} - a_{1,2} \cdot a_{2,1}
\]
\[
\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot3 = 4 - 6 = -2
\]
Determinante 3×3 — Regra de Sarrus
A Regra de Sarrus estabelece que o determinante é a diferença entre a soma das
diagonais principais (\(sd_p\)) e a soma das diagonais secundárias (\(sd_s\)):
\[
\det A = sd_p - sd_s
\]
\[
sd_p = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}
\]
\[
sd_s = a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} + a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}
\]
Para \(A = \begin{bmatrix}-14 & 0 & 14 \\ 3 & 18 & -3 \\ -2 & -7 & 4\end{bmatrix}\):
\(sd_p = (-14)(18)(4) + (0)(-3)(-2) + (14)(3)(-7) \)
\(sd_p = -1008 + 0 - 294 = -1302\)
\(sd_s = (14)(18)(-2) + (-14)(-3)(-7) + (0)(3)(4) \)
\(sd_s = -504 - 294 + 0 = -798\)
\(\det A = -1302 - (-798) = -504\)
A matriz inversa \(A^{-1}\) é aquela que satisfaz:
\[
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
\]
Onde \(I\) é a matriz identidade de mesma ordem.
Condições para existência
1. A matriz deve ser quadrada
2. O determinante deve ser diferente de zero (\(\det A \neq 0\))
Fórmula para inversa 2×2
\[
A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot \begin{bmatrix} a_{2,2} & -a_{1,2} \\ -a_{2,1} & a_{1,1} \end{bmatrix}
\]
Exemplo
Dada \(A = \begin{bmatrix} 8 & 17 \\ 8 & 11 \end{bmatrix}\):
\(\det A = 8 \cdot 11 - 17 \cdot 8 = 88 - 136 = -48\)
\[
A^{-1} = \dfrac{1}{-48} \cdot \begin{bmatrix} 11 & -17 \\ -8 & 8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} \dfrac{-11}{48} & \dfrac{17}{48} \\[8pt] \dfrac{1}{6} & \dfrac{-1}{6} \end{bmatrix}
\]
