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Def

Definição

O que é uma Progressão Aritmética?

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Essa diferença constante é chamada de razão $r$.

O primeiro termo é $a_1$, e cada termo seguinte é obtido somando $r$ ao anterior. Dependendo do valor de $r$, a PA pode ser:

Crescente — $r > 0$ Os termos aumentam a cada posição. Exemplo: $2, 5, 8, 11, \ldots$ com $r = 3$

Decrescente — $r < 0$ Os termos diminuem a cada posição. Exemplo: $10, 7, 4, 1, \ldots$ com $r = -3$

Constante — $r = 0$ Todos os termos são iguais. Exemplo: $5, 5, 5, 5, \ldots$ com $r = 0$

Cálculo da razão A razão é a diferença entre qualquer termo e seu antecessor: $r = a_n - a_{n-1}, \quad \forall\; n > 1$

aₙ

Termo Geral

Calculando qualquer termo sem listar todos

A fórmula do termo geral permite calcular diretamente o n-ésimo termo da PA, conhecendo apenas o primeiro termo $a_1$ e a razão $r$:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

Onde $n$ é a posição do termo desejado. Essa fórmula também pode ser usada para encontrar $a_1$, $r$ ou $n$ quando os outros valores são conhecidos.

Exemplos

Dada a PA $3, 5, 7, 9, \ldots$, qual é o 20º termo? $a_1 = 3$, $r = 2$, $n = 20$ $a_{20} = 3 + (20-1) \cdot 2$ $a_{20} = 3 + 38$ $a_{20} = 41$

Em qual posição está o termo $47$ na PA $3, 5, 7, \ldots$? $47 = 3 + (n-1) \cdot 2$ $44 = (n-1) \cdot 2 \Rightarrow n-1 = 22$ $n = 23$ — o termo 47 é o 23º.

Em uma PA, o 3º termo é $7$ e o 8º termo é $22$. Determine $a_1$ e $r$. Usando $a_8 = a_3 + (8-3) \cdot r$: $22 = 7 + 5r \Rightarrow r = 3$ Usando $a_3 = a_1 + 2r$: $\;7 = a_1 + 6$ $a_1 = 1$ e $r = 3$ → PA: $1, 4, 7, 10, \ldots$

Sₙ

Soma dos Termos

Soma dos n primeiros termos da PA

A soma dos primeiros $n$ termos de uma PA é a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pelo número de termos:

$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Atenção: para usar essa fórmula é preciso conhecer $a_n$. Se ele não for dado, calcule primeiro com a fórmula do termo geral.

Exemplo

Qual é a soma dos 12 primeiros termos da PA $5, 8, 11, 14, \ldots$? Temos $a_1 = 5$ e $r = 3$. Passo 1 — Calcular $a_{12}$: $a_{12} = 5 + (12-1) \cdot 3 = 5 + 33 = 38$ Passo 2 — Aplicar $S_n$: $S_{12} = \dfrac{(5 + 38) \cdot 12}{2} = \dfrac{43 \cdot 12}{2} = \dfrac{516}{2}$ $S_{12} = 258$

Int

Interpolação Aritmética

Inserir meios aritméticos entre dois termos

Interpolar $k$ meios aritméticos entre dois valores $a$ e $b$ significa construir uma PA em que $a$ é o primeiro termo, $b$ é o último, e há exatamente $k$ termos entre eles. A razão dessa PA é:

$r = \dfrac{b - a}{k + 1}$

A PA resultante tem $k + 2$ termos no total: $a,\; a+r,\; a+2r,\; \ldots,\; b$.

Exemplos

Insira 3 meios aritméticos entre $2$ e $18$. $r = \dfrac{18 - 2}{3 + 1} = \dfrac{16}{4} = 4$ PA: $2,\; 6,\; 10,\; 14,\; 18$ Verificação: $18 = 2 + 4 \cdot 4$ ✓

Insira 5 meios aritméticos entre $1$ e $13$. $r = \dfrac{13 - 1}{5 + 1} = \dfrac{12}{6} = 2$ PA: $1,\; 3,\; 5,\; 7,\; 9,\; 11,\; 13$ 7 termos no total ($k+2 = 7$).

Atenção: o resultado $r$ deve ser um número racional. Se $(b - a)$ não for divisível por $(k+1)$, a interpolação produz termos não inteiros, o que é válido matematicamente.

Prop

Propriedades

Relações entre os termos de uma PA

Termo médio Qualquer termo é a média aritmética de seus vizinhos: $a_k = \dfrac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ Ex: na PA $3,5,7,9$: $a_2 = \frac{3+7}{2} = 5$ ✓

Termos equidistantes A soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ Ex: $2,5,8,11,14$: $a_2+a_4 = 5+11 = 16 = a_1+a_5$ ✓

PA com número ímpar de termos A soma equivale ao termo central multiplicado por $n$: $S_n = a_{\text{central}} \cdot n$ Ex: $1,3,5,7,9$: $S_5 = 5 \cdot 5 = 25$ ✓

Soma alternativa Substituindo $a_n = a_1 + (n-1)r$ em $S_n$: $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n$ Útil quando $a_n$ não é conhecido diretamente.

Prob

Problema Contextualizado

Aplicação da PA em situações reais

Estratégia: (1) identificar $a_1$ e $r$ no enunciado; (2) decidir se é preciso encontrar um termo ou uma soma; (3) aplicar a fórmula adequada e interpretar o resultado.

Problema 1 — Economia

Uma pessoa decide poupar dinheiro ao longo de 10 semanas. Na primeira semana poupa R$ 20,00, na segunda R$ 25,00, na terceira R$ 30,00, e assim por diante, aumentando R$ 5,00 por semana. Quanto poupará na 10ª semana? Qual o total acumulado?

$a_1 = 20$, $r = 5$, $n = 10$ 10ª semana: $a_{10} = 20 + (10-1) \cdot 5 = 20 + 45 = 65$ Total acumulado: $S_{10} = \dfrac{(20 + 65) \cdot 10}{2} = \dfrac{850}{2}$

Poupança na 10ª semana: R$ 65,00. Total: R$ 425,00.

Problema 2 — Arquibancada

Uma arquibancada tem 15 fileiras. A primeira fileira tem 20 cadeiras e cada fileira seguinte tem 4 cadeiras a mais. Quantas cadeiras tem a última fileira? Qual é a capacidade total da arquibancada?

$a_1 = 20$, $r = 4$, $n = 15$ Última fileira: $a_{15} = 20 + (15-1) \cdot 4 = 20 + 56 = 76$ cadeiras Total: $S_{15} = \dfrac{(20 + 76) \cdot 15}{2} = \dfrac{1440}{2} = 720$

Última fileira: 76 cadeiras. Capacidade total: 720 pessoas.

Problema 3 — Interpolação

Um atleta treina corrida durante 8 semanas. Na primeira semana percorre $5$ km e na última semana percorre $33$ km, aumentando a distância uniformemente. Quantos km percorre por semana? Qual é a distância total treinada?

$a_1 = 5$, $a_8 = 33$, $n = 8$ — são inseridos $k = 6$ meios entre os extremos. Razão: $r = \dfrac{33 - 5}{8 - 1} = \dfrac{28}{7} = 4$ km/semana PA: $5,\; 9,\; 13,\; 17,\; 21,\; 25,\; 29,\; 33$ Total: $S_8 = \dfrac{(5 + 33) \cdot 8}{2} = \dfrac{304}{2} = 152$ km

O atleta aumenta 4 km por semana e percorre 152 km no total.

Progressão Aritmética

Exemplos

Exemplo

Exemplos

Problema 1 — Economia

Problema 2 — Arquibancada

Problema 3 — Interpolação

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