Pratique Já

?

Por que (−) × (−) = (+)?

Intuição pelo padrão da tabuada

Observe a sequência de produtos de $n \times (-2)$ à medida que $n$ decresce:

$3 \times (-2) = -6$ $2 \times (-2) = -4$ $1 \times (-2) = -2$ $0 \times (-2) = \phantom{+}0$ $-1 \times (-2) = +2$ ← o padrão exige que suba +2 $-2 \times (-2) = +4$ ← negativo × negativo = positivo ✓

Interpretação: multiplicar por $-1$ inverte o sinal. Inverter o sinal duas vezes retorna ao original: $(-1) \times (-1) \times a = +a$. O negativo do negativo é o positivo.

+/+

Sinais Iguais → Resultado Positivo

Positivo × Positivo ou Negativo × Negativo

\[(+) \times (+) = (+) \qquad (-) \times (-) = (+)\] \[(+) \div (+) = (+) \qquad (-) \div (-) = (+)\]

Positivo × Positivo $(+7) \times (+3) = +21$ $(+15) \div (+3) = +5$

Negativo × Negativo $(-7) \times (-3) = +21$ $(-15) \div (-3) = +5$

Regra prática: sinais iguais → resultado positivo.

+/−

Sinais Diferentes → Resultado Negativo

Positivo × Negativo ou Negativo × Positivo

\[(+) \times (-) = (-) \qquad (-) \times (+) = (-)\] \[(+) \div (-) = (-) \qquad (-) \div (+) = (-)\]

Positivo × Negativo $(+7) \times (-3) = -21$ $(+15) \div (-3) = -5$

Negativo × Positivo $(-7) \times (+3) = -21$ $(-15) \div (+3) = -5$

Regra prática: sinais diferentes → resultado negativo.

Alg

Algoritmo de Cálculo

Sinal primeiro, módulo depois

Passo 1 — Determine o sinal do resultado pela regra dos sinais.
Passo 2 — Multiplique (ou divida) os valores absolutos normalmente.
Passo 3 — Aplique o sinal determinado no Passo 1 ao resultado.

Exemplo — $(-12) \times (+5)$ Passo 1: sinais diferentes → resultado negativo Passo 2: $12 \times 5 = 60$ Passo 3: $(-12) \times (+5) = -60$ ✓

Exemplo — $(-48) \div (-6)$ Passo 1: sinais iguais → resultado positivo Passo 2: $48 \div 6 = 8$ Passo 3: $(-48) \div (-6) = +8$ ✓

Exemplo — $(-3) \times (+7)$ Passo 1: sinais diferentes → resultado negativo Passo 2: $3 \times 7 = 21$ Passo 3: $(-3) \times (+7) = -21$ ✓

n fatores

Múltiplos Fatores

Conte o número de fatores negativos

Em um produto com três ou mais fatores, conte a quantidade de fatores negativos:

Quantidade par de negativos → resultado positivo

Quantidade ímpar de negativos → resultado negativo

$(-2) \times (-3) \times (-4)$ — 3 negativos (ímpar) → negativo $2 \times 3 \times 4 = 24$ Resultado: $-24$ ✓

$(-1) \times (-2) \times (-3) \times (-4)$ — 4 negativos (par) → positivo $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ Resultado: $+24$ ✓

$(+5) \times (-2) \times (+3) \times (-1)$ — 2 negativos (par) → positivo $5 \times 2 \times 3 \times 1 = 30$ Resultado: $+30$ ✓

aⁿ

Potências de Inteiros Negativos

Expoente par → positivo · Expoente ímpar → negativo

\[(-a)^n = \begin{cases} +a^n & \text{se } n \text{ é par} \\ -a^n & \text{se } n \text{ é ímpar} \end{cases}\]

Expoente par → positivo $(-3)^2 = (-3)\times(-3) = +9$ $(-2)^4 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)$ $= +16$ $(-5)^2 = +25$

Expoente ímpar → negativo $(-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = -27$ $(-2)^5 = -32$ $(-1)^{101} = -1$

Atenção — parêntese faz diferença:
$(-2)^2 = +4$ (eleva $-2$ ao quadrado)
$-2^2 = -4$ (eleva $2$ ao quadrado e aplica o $-$ depois)

Prop

Propriedades da Multiplicação

Leis que valem para todos os inteiros

Comutativa: $a \times b = b \times a$

Associativa: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

Distributiva: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

Elemento neutro: $a \times 1 = a$

Elemento absorvente: $a \times 0 = 0$

Inversor de sinal: $(-1) \times a = -a$

Distributiva: $(-3)\times(4+2) = (-3)\times4 + (-3)\times2 = $ $ -12 + (-6) = -18$ Verificação: $(-3)\times6 = -18$ ✓

✓

Relação entre × e ÷ — Prova Real

Divisão é a operação inversa da multiplicação

\[\text{Se } a \times b = c \text{, então } c \div b = a \text{ e } c \div a = b\]

$(-4) \times (+5) = -20$ Prova: $(-20) \div (+5) = -4$ ✓ e: $(-20) \div (-4) = +5$ ✓

$(-6) \times (-7) = +42$ Prova: $(+42) \div (-7) = -6$ ✓ e: $(+42) \div (-6) = -7$ ✓

Tab

Tabela de Sinais

Resumo das quatro combinações

(+) × (+)

= (+)

Positivo

(−) × (−)

= (+)

Positivo

(+) × (−)

= (−)

Negativo

(−) × (+)

= (−)

Negativo

Ex

Problemas Contextualizados

Temperatura, finanças e movimento

Problema 1 — Temperatura A temperatura cai $3\,°C$ por hora. Qual a variação em 5 horas? Variação por hora: $-3$. Tempo: $+5$. $(-3) \times (+5) = -15$ A temperatura cai $15\,°C$ no total. ✓

Problema 2 — Dívida João tem 4 dívidas de R$\,12 cada. Qual o saldo total? $4 \times (-12) = -48$ Saldo: $-R$\,48$ (deve R$\,48). ✓

Problema 3 — Compartilhar dívida Uma dívida de R$\,60 é dividida igualmente entre 5 pessoas. Quanto cada uma deve? $(-60) \div (+5) = -12$ Cada pessoa deve R$\,12. ✓

Problema 4 — Movimento Um submarino desce $8\,m$ por minuto (velocidade $-8\,m/min$). Em quanto tempo estará a $-56\,m$? $-56 \div (-8) = +7$ Em $7$ minutos. ✓

!

Erros Comuns

O que evitar nas provas

❌ Erro 1 — (−) × (−) = (−) Pensar que $(-3)\times(-4) = -12$. Errado! ✓ Correto: sinais iguais → positivo. $(-3)\times(-4) = +12$.

❌ Erro 2 — Confundir $(-2)^2$ com $-2^2$ $(-2)^2 = (-2)\times(-2) = +4$ — o $-$ está dentro do parêntese, eleva junto. $-2^2 = -(2\times2) = -4$ — o $-$ está fora, aplica-se depois. ✓ Parêntese muda completamente o resultado!

❌ Erro 3 — Esquecer o sinal no quociente Calcular $(-20)\div(+4) = 5$ (sem o sinal). Errado! ✓ Correto: sinais diferentes → negativo. $(-20)\div(+4) = -5$.

❌ Erro 4 — Produto com número par/ímpar de negativos Calcular $(-1)\times(-1)\times(-1) = +1$. Errado! ✓ Correto: 3 negativos (ímpar) → negativo. Resultado: $-1$.

Multiplicação e Divisão com Inteiros

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