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Def

Definição

Igualdade com incógnita, grau e solução

Uma equação estabelece uma igualdade entre expressões que contêm uma ou mais incógnitas. O valor que torna a igualdade verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação. O grau é dado pelo maior expoente da incógnita.

Nas equações de 1º grau, a incógnita aparece com expoente 1. A forma geral é:

\[ax + b = 0 \qquad (a \neq 0)\]

onde \(a\) e \(b\) são números reais, \(a \neq 0\), e \(x\) é a incógnita. A solução é \(x = -\dfrac{b}{a}\).

Exemplos

\(2x - 3 = 7\)

\(6x - 1 = 4\)

\(2 - 5x = 9\)

\(3x - x - 5 = 3\)

Met

Como Resolver

Regras de transposição e roteiro de resolução

Isole a incógnita: agrupe os termos com \(x\) de um lado e as constantes do outro. Ao trocar um termo de lado, inverta o seu operador. Ao final, verifique substituindo a raiz na equação original.

Regras de transposição

\(+\) passa para o outro lado como \(-\)

\(-\) passa para o outro lado como \(+\)

\(\times\) passa para o outro lado como \(\div\)

\(\div\) passa para o outro lado como \(\times\)

Roteiro de resolução

1. Expandir parênteses, se houver.

2. Transpor termos com \(x\) para a esquerda e constantes para a direita.

3. Somar/subtrair termos semelhantes.

4. Dividir pelo coeficiente de \(x\).

5. Verificar: substituir a raiz na equação original.

Ex

Exemplos Básicos

Incógnita em apenas um lado com verificação

\(4x - 6 = 2\) \(4x = 2 + 6\) (−6 passa como +6) \(4x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{4}\) \(x = 2\) Verificação: \(4\cdot2 - 6 = 8 - 6 = 2\) ✓

\(3x - x - 5 = 3\) \(3x - x = 3 + 5\) (−5 passa como +5) \(2x = 8 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8}{2}\) \(x = 4\) Verificação: \(3\cdot4 - 4 - 5 = 12 - 4 - 5 = 3\) ✓

x⋮x

Incógnita nos Dois Lados

Transpor termos com \(x\) para o mesmo lado

Quando a incógnita aparece em ambos os lados, transporte todos os termos com \(x\) para a esquerda e todas as constantes para a direita antes de simplificar.

\(3x + 2 = x + 8\) \(3x - x = 8 - 2\) (\(x\) passa como \(-x\); \(2\) passa como \(-2\)) \(2x = 6 \;\Rightarrow\; x = 3\) \(x = 3\) Verificação: \(3\cdot3+2=11\) e \(3+8=11\) ✓

\(5x - 4 = 2x + 11\) \(5x - 2x = 11 + 4\) \(3x = 15 \;\Rightarrow\; x = 5\) \(x = 5\) Verificação: \(5\cdot5-4=21\) e \(2\cdot5+11=21\) ✓

(x)

Equações com Parênteses

Expandir antes de transpor

Quando há parênteses, expanda primeiro multiplicando o fator externo por cada termo interno. Só então aplique as regras de transposição.

\(2(x + 3) = 10\) \(2x + 6 = 10\) (distributiva) \(2x = 10 - 6 = 4\) \(x = 2\) Verificação: \(2(2+3) = 2\cdot5 = 10\) ✓

\(3(2x - 1) = 2(x + 4)\) \(6x - 3 = 2x + 8\) (distributiva nos dois lados) \(6x - 2x = 8 + 3\) \(4x = 11\) \(x = \dfrac{11}{4}\)

Frac

Equações com Frações

Eliminar denominadores pelo MMC

Multiplique todos os termos pelo MMC dos denominadores para eliminar as frações e transformar a equação em uma sem denominadores.

\(\dfrac{x}{2} + 1 = 3\) (MMC = 2) \(x + 2 = 6\) (multiplicar tudo por 2) \(x = 4\) Verificação: \(\frac{4}{2}+1 = 2+1 = 3\) ✓

\(\dfrac{2x - 1}{3} = 5\) (MMC = 3) \(2x - 1 = 15\) (multiplicar tudo por 3) \(2x = 16\) \(x = 8\)

⚠

Casos Especiais

Equação sem solução e com infinitas soluções

Após simplificar, se a incógnita desaparecer, analise a igualdade restante: se for falsa, não há solução; se for verdadeira, há infinitas soluções.

Sem solução — equação impossível

\(2x + 3 = 2x + 7\) \(2x - 2x = 7 - 3\) \(0 = 4\) (absurdo — nunca verdadeiro) Não tem solução. \(S = \emptyset\)

Infinitas soluções — equação identidade

\(3(x + 1) = 3x + 3\) \(3x + 3 = 3x + 3\) \(0 = 0\) (sempre verdadeiro) Infinitas soluções. \(S = \mathbb{R}\)

Prob

Problema Contextualizado

Montar e resolver equação a partir de enunciado

Estratégia: (1) definir a incógnita; (2) traduzir o enunciado para uma equação; (3) resolver; (4) interpretar a resposta no contexto do problema.

Problema 1

A soma de dois números consecutivos é 15. Quais são eles? Seja \(x\) o primeiro número; o próximo é \(x + 1\). \(x + (x + 1) = 15\) \(2x + 1 = 15 \;\Rightarrow\; 2x = 14\) \(x = 7\) → os números são 7 e 8.

Problema 2

Um número somado com 5 é igual ao dobro desse número menos 3. Qual é o número? Seja \(x\) o número. \(x + 5 = 2x - 3\) \(5 + 3 = 2x - x\) \(x = 8\) Verificação: \(8+5=13\) e \(2\cdot8-3=13\) ✓

Ineq

Inequações do 1º Grau

Desigualdades, intervalo solução e reta numérica

Uma inequação é uma desigualdade que contém uma incógnita. Ao contrário da equação — que tem solução pontual — a inequação tem como solução um intervalo na reta real.

Símbolos de desigualdade

\(<\) — estritamente menor

\(>\) — estritamente maior

\(\leq\) — menor ou igual

\(\geq\) — maior ou igual

Regra de inversão

Ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte: \[a < b \;\Rightarrow\; -a > -b\] Somar ou subtrair qualquer valor nunca muda o sentido.

Resolva \(3x - 2 > 7\). \(3x > 7 + 2 = 9\) \(x > \dfrac{9}{3}\) \(x > 3 \quad\Rightarrow\quad x \in (3,\, +\infty)\)

Resolva \(-2x + 1 \leq 5\). \(-2x \leq 4\) Divida por \(-2\) — inverte o sinal: \(x \geq \dfrac{4}{-2} = -2\) \(x \in [-2,\, +\infty)\)

Resolva \(5 - 3x \leq 2x + 10\). \(-3x - 2x \leq 10 - 5 \;\Rightarrow\; -5x \leq 5\) Divida por \(-5\) — inverte o sinal: \(x \geq -1 \quad\Rightarrow\quad x \in [-1,\, +\infty)\)

Notação de intervalo

\((a,b)\) — aberto: \(a < x < b\) (não inclui os extremos)
\([a,b]\) — fechado: \(a \leq x \leq b\) (inclui os extremos)
\([a,b)\) ou \((a,b]\) — semi-aberto
\((-\infty,\, a)\) e \((b,\, +\infty)\) — intervalos ilimitados

Regra mnemônica: parêntese \((\,)\) = extremo excluído (valor estritamente maior/menor); colchete \([\,]\) = extremo incluído (maior ou igual / menor ou igual).

Equações