Básico
Adição e Subtração com Inteiros
Explore adição e subtração no conjunto dos inteiros, incluindo números negativos. Entenda a reta numérica, regras de sinais e resolva problemas contextualizados que envolvem temperatura, dívidas e variações de grandezas.
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Def
Conjunto dos Inteiros
Números positivos, negativos e zero
\[\mathbb{Z} = \{\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ +1,\ +2,\ +3,\ \ldots\}\]
O conjunto dos inteiros estende os naturais incluindo os opostos negativos. O valor absoluto (módulo) de um inteiro é sua distância até zero na reta numérica — sempre positivo ou nulo: \(|{+7}| = 7\) e \(|{-7}| = 7\).
\(\mathbb{Z}^+ = \{+1,\ +2,\ +3,\ \ldots\}\) — inteiros positivos
\(\mathbb{Z}^- = \{-1,\ -2,\ -3,\ \ldots\}\) — inteiros negativos
O zero não é positivo nem negativo: \(0 \in \mathbb{Z}\)
Na reta numérica, números maiores ficam sempre à direita.
Portanto \(-1 > -5\), mesmo que \(|-5| > |-1|\).
a−b
Subtração = Adição do Oposto
Conceito unificador das duas operações
\[a - b = a + (-b)\]
Subtrair um número é o mesmo que somar o seu oposto. Isso unifica adição e subtração em uma única operação e elimina a necessidade de memorizar regras separadas para cada caso.
\(8 - 5 = 8 + (-5) = +3\)
\(4 - 9 = 4 + (-9) = -5\)
\(-3 - 7 = -3 + (-7) = -10\)
\(-3 - (-5) = -3 + (+5) = +2\)
\(6 - (-4) = 6 + (+4) = +10\)
\(0 - (-8) = 0 + 8 = +8\)
O oposto de \(a\) é \(-a\): o número que somado a \(a\) resulta zero.
Todo inteiro tem exatamente um oposto: oposto de \(-7\) é \(+7\); oposto de \(0\) é \(0\).
+/+
Sinais Iguais
Soma os módulos e repete o sinal
\[(+a) + (+b) = +(a+b)\]
\[(-a) + (-b) = -(a+b)\]
Positivo + Positivo → Positivo
\(+7 + (+3) = +(7+3) = +10\)
\(+15 + (+8) = +23\)
Negativo + Negativo → Negativo
\(-7 + (-3) = -(7+3) = -10\)
\(-15 + (-8) = -23\)
Regra prática: sinais iguais → soma os módulos e repete o sinal.
+/−
Sinais Diferentes
Subtrai os módulos e usa o sinal do maior
Subtraia o menor módulo do maior e use o sinal do número de maior valor absoluto.
\(+4 + (-6)\) — \(|-6| = 6 \gt |{+4}| = 4\) → sinal negativo
\(6 - 4 = 2\)
Resultado: \(-2\)
\(+8 + (-5)\) — \(|{+8}| = 8 \gt |-5| = 5\) → sinal positivo
\(8 - 5 = 3\)
Resultado: \(+3\)
\(-12 + (+7)\) — \(|-12| = 12 \gt |{+7}| = 7\) → sinal negativo
\(12 - 7 = 5\)
Resultado: \(-5\)
Regra prática: sinais diferentes → subtrai os módulos e usa o sinal do maior módulo.
Se os módulos forem iguais, o resultado é zero: \(+5 + (-5) = 0\).
−( )
Sinal antes do Parêntese
Sinal negativo inverte; positivo mantém
\[-(+a) = -a \qquad -(-a) = +a\]
\[+(+a) = +a \qquad +(-a) = -a\]
\(+4 - (-6)\)
\(-(-6) = +6\) → \(+4 + 6\)
Resultado: \(+10\)
\(+8 - (+5)\)
\(-(+5) = -5\) → \(+8 - 5\)
Resultado: \(+3\)
\(-3 - (-9)\)
\(-(-9) = +9\) → \(-3 + 9\)
Resultado: \(+6\)
Prop
Propriedades da Adição
Leis que valem para todos os inteiros
Comutativa: \(a + b = b + a\)
Associativa: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
Elemento neutro: \(a + 0 = 0 + a = a\)
Elemento oposto: \(a + (-a) = 0\)
Comutativa: \((-3) + (+8) = (+8) + (-3) = +5\)
Associativa: \((-2 + 5) + (-3) = -2 + (5 + (-3)) = 0\)
Oposto: \(-7 + (+7) = 0\) ✓
A subtração não é comutativa: \(8 - 3 \neq 3 - 8\) em geral.
Mas ao converter em adição do oposto, podemos usar a comutatividade da adição.
Expr
Expressões com Múltiplos Termos
Estratégia: eliminar parênteses, agrupar por sinal
Estratégia: (1) elimine os parênteses aplicando as regras de sinal;
(2) agrupe os positivos e some; (3) agrupe os negativos e some;
(4) aplique a regra de sinais diferentes ao resultado.
Exemplo: \(+5 - 3 + (-2) - (-4)\)
Eliminar parênteses: \(+5 - 3 - 2 + 4\)
Agrupar positivos: \(+5 + 4 = +9\)
Agrupar negativos: \(-3 - 2 = -5\)
\(+9 + (-5)\) — sinais diferentes, \(|{+9}| \gt |-5|\) → positivo
Resultado: \(+4\)
Exemplo: \(-8 + (-3) - (-5) + 2\)
Eliminar parênteses: \(-8 - 3 + 5 + 2\)
Positivos: \(+5 + 2 = +7\) · Negativos: \(-8 - 3 = -11\)
\(+7 + (-11)\) — sinais diferentes, \(|-11| \gt |{+7}|\) → negativo
Resultado: \(-4\)
Tab
Tabela de Regras dos Sinais
Resumo completo
Sinais iguais
\((+)+(+)=+\)
\((-)+(-)=-\)
\((-)+(-)=-\)
Soma · repete o sinal
Sinais diferentes
\((+)+(-)=?\)
\((-)+(+)=?\)
\((-)+(+)=?\)
Subtrai · sinal do maior
Sinal − antes ( )
\(-(-)=+\)
\(-(+)=-\)
\(-(+)=-\)
Inverte todos os sinais
Sinal + antes ( )
\(+(+)=+\)
\(+(-)=-\)
\(+(-)=-\)
Mantém os sinais
Ex
Problemas Contextualizados
Temperatura, andares, finanças e cronologia
Problema 1 — Temperatura
O termômetro marca \(-3\,°C\). A temperatura sobe \(8\,°C\). Qual a temperatura final?
\(-3 + 8\) — sinais diferentes, \(|8| \gt |-3|\) → positivo
Temperatura final: \(+5\,°C\) ✓
Problema 2 — Elevador
Um elevador está no \(4°\) subsolo (\(-4\)). Sobe 10 andares. Em que andar para?
\(-4 + 10 = +6\)
Para no \(6°\) andar ✓
Problema 3 — Finanças
Maria tem uma dívida de R$\,150 (ou seja, \(-150\)). Recebe R$\,200. Qual o saldo?
\(-150 + 200\) — sinais diferentes, \(|200| \gt |-150|\) → positivo
Saldo: \(+R$\,50\) ✓
Problema 4 — Cronologia
Uma batalha ocorreu em 48 a.C. (\(-48\)). Quanto tempo passou até 2025 d.C. (\(+2025\))?
\(2025 - (-48) = 2025 + 48\)
Passaram-se \(2073\) anos ✓
!
Erros Comuns
O que evitar nas provas
❌ Erro 1 — Duplo negativo
Pensar que \(-(-5) = -5\). Errado!
✓ Correto: \(-(-5) = +5\). O sinal muda!
❌ Erro 2 — Somar em vez de subtrair com sinais diferentes
Calcular \(+3 + (-8) = +11\) (somando os módulos). Errado!
✓ Correto: sinais diferentes → subtrai → \(8 - 3 = 5\), sinal do maior (\(-8\)) → \(-5\).
❌ Erro 3 — Inverter só o primeiro sinal dentro do parêntese
Calcular \(-(+3 - 2) = -3 - 2\). Errado!
✓ Correto: o sinal \(-\) inverte todos os termos: \(-(+3 - 2) = -3 + 2 = -1\).
❌ Erro 4 — Confundir módulo com valor
Achar que \(-8 \gt -3\) porque \(8 \gt 3\). Errado!
✓ Correto: na reta numérica, \(-3 \gt -8\). Módulo maior não significa valor maior em negativos.
