Avançado
Inequações do 2º Grau
Resolva inequações do 2º grau pelo método gráfico usando a parábola. Encontre as raízes, analise a concavidade e determine o conjunto solução. Explore casos especiais com Δ < 0 e inequações fatoradas.
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Revisão — Inequações do 1º Grau
Notação de intervalo e regra do negativo
Uma inequação estabelece uma desigualdade com incógnita.
Ao multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido inverte.
\(3x - 6 > 0 \;\Rightarrow\; x > 2 \;\Rightarrow\; x \in (2, +\infty)\)
\(-2x + 4 \leq 0 \;\Rightarrow\; x \geq 2 \;\Rightarrow\; x \in [2, +\infty)\)
Notação: \((a,b)\) aberto, \([a,b]\) fechado, \((a,b]\) e \([a,b)\) semi-abertos.
Graf
Método Gráfico
Usar a parábola para determinar o sinal
A inequação \(ax^2 + bx + c \;\square\; 0\) pede os valores de \(x\) onde
a parábola \(f(x) = ax^2 + bx + c\) está acima (\(> 0\)), abaixo (\(< 0\)) ou
tocando (\(= 0\)) o eixo \(x\). Depois de encontrar os zeros, o gráfico revela
diretamente a solução.
\(a > 0\) (parábola ↑): \(f(x) < 0\) entre as raízes; \(f(x) > 0\) fora
\(a < 0\) (parábola ↓): \(f(x) > 0\) entre as raízes; \(f(x) < 0\) fora
1·2·3
Método Passo a Passo
Raízes → concavidade → solução
1. Passe tudo para um lado: \(ax^2 + bx + c \;\square\; 0\)
2. Calcule \(\Delta\) e encontre as raízes \(x_1 \leq x_2\) (se existirem)
3. Analise o sinal de \(a\) para saber a concavidade
4. Monte a solução com base no sinal pedido
Exemplo — \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\)
\(\Delta = 25 - 24 = 1 \;\Rightarrow\; x_1 = 2,\; x_2 = 3\)
\(a = 1 > 0\) → parábola ↑ → \(f(x) \leq 0\) entre as raízes
Solução: \(x \in [2,\, 3]\)
Exemplo — \(-x^2 + 4x - 3 > 0\)
\(\Delta = 16 - 12 = 4 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = 3\)
\(a = -1 < 0\) → parábola ↓ → \(f(x) > 0\) entre as raízes
Solução: \(x \in (1,\, 3)\)
Esp
Casos Especiais — \(\Delta \leq 0\)
Solução é \(\emptyset\) ou \(\mathbb{R}\)
Quando \(\Delta < 0\), a parábola não cruza o eixo \(x\). O sinal de \(f(x)\)
é constante (igual ao sinal de \(a\)) para todo \(x\).
Quando \(\Delta = 0\), existe apenas um zero (raiz dupla): \(x_v\).
\(x^2 + 1 > 0\): \(\Delta = -4 < 0\); \(a = 1 > 0\) → \(f(x) > 0\) sempre
Solução: \(x \in \mathbb{R}\)
\(x^2 + 1 < 0\): mesma função, sinal contrário ao pedido
Solução: \(S = \emptyset\)
\(-x^2 + 4 \geq 0 \;\Leftrightarrow\; x^2 - 4 \leq 0\): \(\Delta = 16\); \(x_1 = -2,\; x_2 = 2\)
Solução: \(x \in [-2,\, 2]\)
\((x-3)^2 \leq 0\): \(\Delta = 0\), raiz dupla \(x_v = 3\)
\((x-3)^2 \geq 0\) sempre; \(\leq 0\) só quando \((x-3)^2 = 0\)
Solução: \(x = 3\) (apenas o vértice)
( )( )
Inequação Fatorada
Estudo de sinal por tabela
Quando \(f(x)\) já está na forma fatorada \(a(x - x_1)(x - x_2)\),
use uma tabela de sinais: analise o sinal de cada fator
separadamente e combine-os.
Exemplo — \((x-1)(x-4) \leq 0\)
Zeros: \(x = 1\) e \(x = 4\)
Solução (\(\leq 0\)): \(x \in [1,\, 4]\)
| \(x\) | \((-\infty,1)\) | \(1\) | \((1,4)\) | \(4\) | \((4,+\infty)\) |
| \((x-1)\) | − | 0 | + | + | + |
| \((x-4)\) | − | − | − | 0 | + |
| Produto | + | 0 | − | 0 | + |
