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Def

Definição

O que é uma Progressão Geométrica?

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão $q$.

A razão é calculada dividindo qualquer termo pelo seu antecessor:

$q = \dfrac{a_n}{a_{n-1}}, \quad \forall\; n > 1$

O comportamento da PG depende do valor de $q$:

Crescente — $q > 1$ Termos aumentam a cada posição. Exemplo: $2, 6, 18, 54, \ldots$ com $q = 3$

Decrescente — $0 < q < 1$ Termos positivos diminuem a cada posição. Exemplo: $16, 8, 4, 2, \ldots$ com $q = \frac{1}{2}$

Alternante — $q < 0$ Os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo. Exemplo: $2, -6, 18, -54, \ldots$ com $q = -3$

Constante — $q = 1$ Todos os termos são iguais. Exemplo: $5, 5, 5, 5, \ldots$ com $q = 1$

aₙ

Termo Geral

Calculando qualquer termo sem listar todos

A fórmula do termo geral permite calcular diretamente o n-ésimo termo da PG, conhecendo apenas o primeiro termo $a_1$ e a razão $q$:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Essa fórmula também permite encontrar $a_1$, $q$ ou $n$ quando os demais valores são conhecidos.

Exemplos

Dada a PG $3, 6, 12, 24, \ldots$, qual é o 10º termo? $a_1 = 3$, $q = 2$, $n = 10$ $a_{10} = 3 \cdot 2^9 = 3 \cdot 512$ $a_{10} = 1536$

Em uma PG, $a_1 = 5$ e $q = 2$. Para qual $n$ temos $a_n = 160$? $160 = 5 \cdot 2^{n-1} \Rightarrow 2^{n-1} = 32$ $2^{n-1} = 2^5 \Rightarrow n - 1 = 5$ $n = 6$ — o termo 160 é o 6º.

Em uma PG, $a_2 = 6$ e $a_5 = 48$. Determine $a_1$ e $q$. Usando $a_5 = a_2 \cdot q^{5-2}$: $\;48 = 6 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = 8$ $q = 2$. Então $a_2 = a_1 \cdot q \Rightarrow 6 = a_1 \cdot 2$ $a_1 = 3$ e $q = 2$ → PG: $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$

Sₙ

Soma dos Termos

Soma dos n primeiros termos da PG

A soma dos primeiros $n$ termos de uma PG com $q \neq 1$ é:

$S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$

Caso especial $q = 1$: todos os termos são iguais a $a_1$, portanto $S_n = a_1 \cdot n$.

Quando o último termo $a_n$ já é conhecido, é mais prático usar a forma alternativa:

$S_n = \dfrac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}$

Exemplo

Qual é a soma dos 6 primeiros termos da PG $2, 6, 18, 54, \ldots$? Temos $a_1 = 2$ e $q = 3$. $S_6 = \dfrac{2 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2 \cdot (729 - 1)}{2}$ $S_6 = \dfrac{2 \cdot 728}{2} = 728$ $S_6 = 728$

S∞

PG Infinita Decrescente

Soma de infinitos termos quando |q| < 1

Quando $|q| < 1$, os termos da PG se aproximam de zero e a soma de infinitos termos converge para um valor finito:

$S_\infty = \dfrac{a_1}{1 - q}$

Condição de convergência: a fórmula $S_\infty$ só é válida quando $|q| < 1$. Se $|q| \geq 1$, a soma diverge (cresce sem limite).

Essa fórmula tem aplicação direta em dízimas periódicas e em problemas de física e finanças que envolvem decaimento geométrico.

Exemplos

Calcule a soma da PG $8, 4, 2, 1, \dfrac{1}{2}, \ldots$ $a_1 = 8$, $q = \dfrac{1}{2}$ $S_\infty = \dfrac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{8}{\frac{1}{2}}$ $S_\infty = 16$

Escreva $0{,}\overline{3}$ como fração usando PG infinita. $0{,}\overline{3} = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$ $a_1 = 0{,}3$, $q = 0{,}1$ $S_\infty = \dfrac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \dfrac{0{,}3}{0{,}9} = \dfrac{1}{3}$

Int

Interpolação Geométrica

Inserir meios geométricos entre dois termos

Interpolar $k$ meios geométricos entre dois valores $a$ e $b$ (com $a, b > 0$) significa construir uma PG em que $a$ é o primeiro termo, $b$ é o último, e há exatamente $k$ termos entre eles. A razão é:

$q = \sqrt[k+1]{\dfrac{b}{a}} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{\!\frac{1}{k+1}}$

A PG resultante tem $k + 2$ termos no total: $a,\; aq,\; aq^2,\; \ldots,\; b$.

Exemplos

Insira 2 meios geométricos entre $3$ e $24$. $q = \sqrt[3]{\dfrac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$ PG: $3,\; 6,\; 12,\; 24$ Verificação: $24 = 3 \cdot 2^3$ ✓

Insira 3 meios geométricos entre $1$ e $16$. $q = \sqrt[4]{\dfrac{16}{1}} = \sqrt[4]{16} = 2$ PG: $1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16$ 5 termos no total ($k+2 = 5$).

Atenção: para que a interpolação geométrica seja possível com razão real, $a$ e $b$ devem ter o mesmo sinal quando $k$ é par, ou qualquer sinal quando $k$ é ímpar.

Prop

Propriedades

Relações entre os termos de uma PG

Média geométrica Qualquer termo é a média geométrica de seus vizinhos: $a_k^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$ Ex: na PG $2, 6, 18$: $6^2 = 36 = 2 \times 18$ ✓

Produto de equidistantes O produto de termos equidistantes dos extremos é constante: $a_k \cdot a_{n-k+1} = a_1 \cdot a_n$ Ex: $1,2,4,8,16$: $a_2 \cdot a_4 = 2 \cdot 8 = 16 = a_1 \cdot a_5$ ✓

Logaritmos de uma PG Se $(a_1, a_2, \ldots)$ é PG, então $(\log a_1, \log a_2, \ldots)$ é PA com razão $\log q$. Ex: $\log 2, \log 4, \log 8$ → PA com $r = \log 2$

Forma fatorada alternativa O n-ésimo termo pode ser escrito em relação a qualquer termo $a_k$: $a_n = a_k \cdot q^{n-k}$ Evita calcular a partir de $a_1$ quando $a_k$ é mais conveniente.

Prob

Problema Contextualizado

Aplicação da PG em situações reais

Estratégia: (1) identificar $a_1$ e $q$ no enunciado; (2) decidir entre termo geral, soma finita ou soma infinita; (3) aplicar a fórmula e interpretar o resultado.

Problema 1 — Juros compostos

Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao mês. Qual será o montante após 5 meses?

$a_1 = 1000$, $q = 1{,}10$, $n = 6$ (mês 0 ao mês 5) $a_6 = 1000 \cdot (1{,}10)^5 = 1000 \cdot 1{,}61051$ Cada mês o valor é multiplicado por $q = 1{,}10$ → crescimento geométrico.

Montante após 5 meses: R$ 1.610,51

Problema 2 — Bactérias

Uma colônia de bactérias dobra de tamanho a cada hora. Se havia 500 bactérias no início, quantas haverá após 8 horas?

$a_1 = 500$, $q = 2$, $n = 9$ (hora 0 à hora 8) $a_9 = 500 \cdot 2^8 = 500 \cdot 256$

Após 8 horas: 128.000 bactérias.

Problema 3 — Dízima periódica

Escreva a dízima $0{,}\overline{27}$ como fração irredutível.

$0{,}\overline{27} = 0{,}27 + 0{,}0027 + 0{,}000027 + \ldots$ $a_1 = 0{,}27$, $q = 0{,}01$ $S_\infty = \dfrac{0{,}27}{1 - 0{,}01} = \dfrac{0{,}27}{0{,}99} = \dfrac{27}{99}$

$0{,}\overline{27} = \dfrac{3}{11}$

Progressão Geométrica

Exemplos

Exemplo

Exemplos

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Problema 1 — Juros compostos

Problema 2 — Bactérias

Problema 3 — Dízima periódica

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