Combinatória é a área da matemática que estuda as possibilidades de contar, agrupar ou
organizar elementos de um conjunto sem precisar listar todos os casos.
Os quatro conceitos fundamentais se distinguem por duas perguntas-chave:
| Conceito |
Usa todos? |
Ordem importa? |
Fórmula |
| Permutação simples |
Sim |
Sim |
\(n!\) |
| Permutação circular |
Sim |
Sim (em círculo) |
\((n-1)!\) |
| Arranjo simples |
Não |
Sim |
\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) |
| Combinação simples |
Não |
Não |
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) |
Se uma ação é realizada em etapas sucessivas e independentes, o número total
de possibilidades é o produto do número de opções em cada etapa:
\(n_1 \cdot n_2 \cdots n_k\).
Exemplos
Combinação de roupas: 3 camisetas × 2 calças × 4 pares de sapato:
\(3 \cdot 2 \cdot 4 = \)24 combinações
Senhas numéricas: senha de 4 dígitos (0–9) com repetição:
\(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = \)10.000 possibilidades
Placas de carro (modelo antigo): 3 letras (26 opções cada) seguidas de
4 dígitos (10 opções cada): \(26^3 \cdot 10^4 = \)175.760.000 placas
Princípio da Adição (casos excludentes): quando as etapas são
alternativas mutuamente exclusivas (ou uma ou outra, nunca ambas),
o total é a soma das possibilidades de cada alternativa.
Ex.: uma comissão formada por 1 homem OU 1 mulher de um grupo de 4 homens e 3 mulheres:
\(4 + 3 = 7\) possibilidades.
Dado um conjunto com \(n\) elementos distintos, uma permutação é qualquer
arranjo ordenado usando todos os elementos. O número total de permutações é:
\(P(n) = n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\)
Convenção: \(0! = 1\) por definição.
Exemplo 1 — permutações de {1, 2, 3}
As \(P(3) = 3! = 6\) permutações possíveis são:
(1, 2, 3)
(1, 3, 2)
(2, 1, 3)
(2, 3, 1)
(3, 1, 2)
(3, 2, 1)
Exemplo 2 — anagramas de "CELTA"
As 5 letras são todas distintas. Quantos anagramas existem?
\(P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{120}\) anagramas
Se há elementos repetidos, divide-se pelos fatoriais das repetições para eliminar as
permutações idênticas. Com um elemento repetido \(k\) vezes e outro repetido \(m\) vezes:
\(P_{n}^{k,\,m,\,\ldots} = \dfrac{n!}{k! \cdot m! \cdots}\)
Exemplo — anagramas de "BANANA"
Letras: B, A, N, A, N, A → total \(n = 6\).
Repetições: A aparece 3 vezes, N aparece 2 vezes.
\(P_{6}^{3,\,2} = \dfrac{6!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{720}{6 \cdot 2} = \dfrac{720}{12} = \mathbf{60}\)
Por que dividir? As 3 letras A são indistinguíveis entre si — trocar suas
posições entre si não gera um novo anagrama. O mesmo vale para os 2 Ns. Dividir pelos
fatoriais elimina essas contagens duplicadas.
Quando os elementos são dispostos em círculo, rotações de um mesmo
arranjo são consideradas idênticas. Fixamos um elemento como referência e permutamos
os demais:
\(P_c(n) = (n-1)!\)
Intuição: ao fixar um elemento, eliminamos as \(n\) rotações que
gerariam o mesmo arranjo circular. Por isso o fatorial parte de \((n-1)\) e não de \(n\).
Exemplo — pessoas ao redor de uma mesa redonda
De quantas formas 5 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa redonda?
\(P_c(5) = (5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{24}\) formas
Compare: em fila (permutação simples) seriam \(5! = 120\) formas — 5 vezes mais, pois
cada arranjo circular corresponde a 5 rotações equivalentes na fila.
Um arranjo simples seleciona e ordena \(k\) elementos distintos de um conjunto com \(n\) elementos.
A ordem importa e não há repetição.
\(A(n,\,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)\)
Relação com permutação: \(P(n) = A(n, n)\) — a permutação é um
caso especial de arranjo onde \(k = n\), tornando \((n-k)! = 0! = 1\).
Exemplo — pódio de corrida
De quantas formas pode-se distribuir ouro, prata e bronze entre 8 atletas?
A ordem importa (1.º ≠ 2.º ≠ 3.º), \(n = 8\), \(k = 3\):
\(A(8,\,3) = \dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = \mathbf{336}\) formas
Exemplo 2 — números de dois algarismos distintos com {1, 2, 3, 4}
\(A(4,\,2) = \dfrac{4!}{2!} = 4 \cdot 3 = \mathbf{12}\)
12
13
14
21
23
24
31
32
34
41
42
43
Uma combinação simples é um agrupamento não ordenado de \(k\) elementos
escolhidos de um conjunto com \(n\) elementos, sem repetição.
\(C(n,\,k) = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)
Relação com Arranjo: \(C(n,k) = \dfrac{A(n,k)}{k!}\).
Ao não importar a ordem, dividimos o arranjo pelas \(k!\) permutações internas
de cada grupo — que são todas equivalentes na combinação.
Propriedades importantes
Simetria: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) — escolher \(k\)
elementos equivale a excluir \(n-k\).
Casos extremos: \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\).
Recursividade (Pascal): \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\).
Exemplo — formação de comitê
Quantos comitês de 3 pessoas podem ser formados a partir de 5 candidatos?
A ordem não importa. \(n = 5\), \(k = 3\):
\(C(5,\,3) = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = \mathbf{10}\)
As 10 combinações (candidatos A, B, C, D, E):
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
O Triângulo de Pascal organiza os coeficientes binomiais \(\binom{n}{k}\) em linhas, onde
cada linha \(n\) contém as combinações \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}\).
Cada valor é a soma dos dois valores acima (propriedade da recursividade).
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
Leitura da linha n=4: \(\binom{4}{0}=1,\ \binom{4}{1}=4,\ \binom{4}{2}=6,\
\binom{4}{3}=4,\ \binom{4}{4}=1\). A soma de cada linha é \(2^n\) — o número total de subconjuntos
de um conjunto com \(n\) elementos.
Usada quando os elementos podem ser escolhidos mais de uma vez e a ordem
não importa. Exemplo clássico: escolher sabores de sorvete permitindo repetição.
\(CR(n,\,k) = \binom{n+k-1}{k} = \dfrac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}\)
Intuição (estrelas e barras): imagine \(k\) objetos idênticos (estrelas ★)
distribuídos em \(n\) categorias, separadas por \(n-1\) divisórias (barras |). Contar as disposições
dessas \(k+(n-1)\) posições é equivalente a \(\binom{n+k-1}{k}\).
Exemplo 1 — bolas com repetição de cores
Quantas combinações de 3 bolas são possíveis entre 4 cores, com repetição?
\(n = 4\), \(k = 3\):
\(CR(4,\,3) = \binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} = \dfrac{720}{36} = \mathbf{20}\)
Exemplo 2 — sabores de sorvete
Uma sorveteria tem 5 sabores. Quantas combinações de 2 bolas (podendo repetir) são possíveis?
\(n = 5\), \(k = 2\):
\(CR(5,\,2) = \binom{5+2-1}{2} = \binom{6}{2} = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = \mathbf{15}\)
Problema 1 — Comissão com restrição
De um grupo de 4 homens e 3 mulheres, quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas
contendo pelo menos 1 mulher?
Estratégia: total de comissões − comissões sem mulher
\(\text{Total} = C(7,3) = \dfrac{7!}{3! \cdot 4!} = 35\)
\(\text{Sem mulher (só homens)} = C(4,3) = 4\)
\(\text{Com pelo menos 1 mulher} = 35 - 4 = \mathbf{31}\) comissões
Problema 2 — Senha com restrição
Quantas senhas de 4 dígitos distintos e em ordem crescente
podem ser formadas com os dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
Chave: se os 4 dígitos são distintos e a ordem é fixada (crescente),
basta escolher quais 4 dígitos usar — a ordem é determinada automaticamente.
\(C(6,4) = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = \mathbf{15}\) senhas
Problema 3 — Mesa redonda com restrição
De quantas formas 6 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa redonda se 2 pessoas
específicas (A e B) não podem sentar adjacentes?
\(\text{Total circular} = P_c(6) = 5! = 120\)
\(\text{A e B adjacentes: trate o par como 1 bloco} \Rightarrow P_c(5) \cdot 2! = 4! \cdot 2 = 48\)
\(\text{A e B não adjacentes} = 120 - 48 = \mathbf{72}\) formas
O Binômio de Newton expande \((a+b)^n\) diretamente, sem
multiplicações repetidas. Os coeficientes de cada termo são as combinações
\(\binom{n}{k}\) — os mesmos valores do Triângulo de Pascal na linha \(n\).
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k
= \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{n}b^n
\]
Termo geral
O \((k+1)\)-ésimo termo da expansão é:
\[
T_{k+1} = \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k \qquad (k = 0,\, 1,\, \ldots,\, n)
\]
Expanda \((x + 2)^4\). Linha \(n = 4\) de Pascal: \(1,\;4,\;6,\;4,\;1\).
\(\binom{4}{0}x^4 + \binom{4}{1}x^3 \cdot 2 + \binom{4}{2}x^2 \cdot 4 + \binom{4}{3}x \cdot 8 + \binom{4}{4} \cdot 16\)
\(= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\)
\((x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\)
Expanda \((2a - b)^3\). Escreva \(b = -b\); Pascal \(n=3\): \(1,\;3,\;3,\;1\).
\((2a)^3 + 3(2a)^2(-b) + 3(2a)(-b)^2 + (-b)^3\)
\(= 8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3\)
\((2a-b)^3 = 8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3\)
Determine o 3º termo da expansão de \((x + 3)^6\).
\(T_3 = T_{2+1} \;\Rightarrow\; k = 2\)
\(T_3 = \binom{6}{2}\, x^{6-2}\, 3^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 9\)
\(T_3 = 135x^4\)
Soma dos coeficientes: fazendo \(a = b = 1\), obtemos
\((1+1)^n = 2^n\) — confirmando que a soma de cada linha \(n\) do Triângulo
de Pascal é \(2^n\).
