Básico
Plano Cartesiano
Explore o plano cartesiano: eixos x e y, origem, quadrantes e localização de pontos por pares ordenados (x, y). Identifique abscissa, ordenada e simetria de pontos — base visual para funções e geometria analítica.
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Teoria
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Def
Eixos e Origem
A estrutura do plano cartesiano e os quatro quadrantes
O plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares que se cruzam na origem:
- Eixo x (horizontal) — também chamado de eixo das abscissas
- Eixo y (vertical) — também chamado de eixo das ordenadas
- Origem O(0, 0) — ponto de interseção dos dois eixos
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes, numerados em sentido anti-horário:
| Quadrante | x | y | Exemplo |
|---|---|---|---|
| I | positivo | positivo | A(2, 2) |
| II | negativo | positivo | B(−1, 1) |
| III | negativo | negativo | C(−2, −1) |
| IV | positivo | negativo | D(3, −2) |
Pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante: \((3, 0)\) está no eixo x e \((0, -2)\) está no eixo y.
Loc
Localização de Pontos
Par ordenado \((x,\, y)\) — abscissa e ordenada
Cada ponto do plano é identificado por um par ordenado \((x, y)\):
- Abscissa (\(x\)): distância horizontal até o eixo y (positiva à direita, negativa à esquerda)
- Ordenada (\(y\)): distância vertical até o eixo x (positiva acima, negativa abaixo)
Como marcar o ponto P(3, −1):
1. A partir da origem, mova 3 unidades para a direita (x = 3)
2. A partir daí, mova 1 unidade para baixo (y = −1)
3. Marque o ponto P nessa posição.
2. A partir daí, mova 1 unidade para baixo (y = −1)
3. Marque o ponto P nessa posição.
Em qual quadrante está Q(−4, 2)?
x = −4 (negativo) e y = 2 (positivo)
Quadrante II
Quadrante II
Dist
Distância à Origem
Usando o Teorema de Pitágoras no plano
A distância de um ponto \(P(x, y)\) até a origem \(O(0, 0)\) é calculada com o Teorema de Pitágoras:
os catetos são as projeções \(|x|\) (horizontal) e \(|y|\) (vertical).
\[d(P, O) = \sqrt{x^2 + y^2}\]
Exemplo 1 — \(A(3, 4)\)
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)
\(d = 5\) unidades
\(d = 5\) unidades
Exemplo 2 — \(B(-1, -1)\)
\(d = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)
\(d = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) unidades
\(d = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) unidades
Exemplo 3 — ponto sobre o eixo x: \(C(5, 0)\)
\(d = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5\)
A distância à origem é o próprio valor de \(|x|\).
A distância à origem é o próprio valor de \(|x|\).
Sim
Pares Simétricos
Reflexão em relação ao eixo x, ao eixo y e à origem
Dado um ponto \(P(a, b)\), seus simétricos são:
\[P'_x = (a,\; -b) \quad \text{(reflexão em relação ao eixo } x\text{)}\]
\[P'_y = (-a,\; b) \quad \text{(reflexão em relação ao eixo } y\text{)}\]
\[P'_O = (-a,\; -b) \quad \text{(reflexão em relação à origem)}\]
Exemplo — \(P(3, 2)\)
Simétrico ao eixo x: \((3, -2)\)
Simétrico ao eixo y: \((-3, 2)\)
Simétrico à origem: \((-3, -2)\)
Simétrico ao eixo y: \((-3, 2)\)
Simétrico à origem: \((-3, -2)\)
Exemplo — \(Q(-4, 1)\)
Simétrico ao eixo x: \((-4, -1)\) — Quadrante III
Simétrico ao eixo y: \((4, 1)\) — Quadrante I
Simétrico à origem: \((4, -1)\) — Quadrante IV
Simétrico ao eixo y: \((4, 1)\) — Quadrante I
Simétrico à origem: \((4, -1)\) — Quadrante IV
O ponto simétrico ao eixo x tem a mesma abscissa e ordenada oposta.
O simétrico à origem inverte os dois sinais — equivale a duas reflexões seguidas.
