Intermediário
Funções
Compreenda o conceito de função: relação, domínio, contradomínio e imagem. Identifique funções por diagramas, tabelas e gráficos (teste da reta vertical). Estude funções injetoras, sobrejetoras, compostas e inversas.
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Teoria
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Def
Definição
Relação, função, domínio, contradomínio e imagem
Uma função \(f: A \to B\) é uma regra que associa
a cada elemento de \(A\) exatamente um elemento de \(B\).
Uma relação que associa um elemento de \(A\) a mais de um elemento de \(B\)
não é função.
Domínio \(D(f) = A\): conjunto de todas as entradas (valores de \(x\))
Contradomínio \(CD = B\): conjunto de todas as saídas possíveis
Imagem \(\text{Im}(f)\): subconjunto de \(B\) realmente atingido — \(\text{Im}(f) \subseteq CD\)
Para \(f(x) = x^2\) com \(D = \mathbb{R}\): \(CD = \mathbb{R}\), mas \(\text{Im}(f) = [0, +\infty)\) — valores negativos nunca são atingidos.
Rep.
Representações
Diagrama, tabela, fórmula e gráfico
A mesma função pode ser descrita de quatro formas:
Fórmula: \(f(x) = 2x + 1\) — expressão algébrica da regra
Tabela: pares \((x,\, f(x))\): \((0,1),\,(1,3),\,(2,5),\,(-1,-1)\)
Diagrama de setas: cada \(x\) aponta para um único \(f(x)\)
Gráfico: conjunto de pontos \((x,\, f(x))\) no plano cartesiano
?
Identificar se é Função
Teste da reta vertical e da definição
Teste da reta vertical: uma curva no plano é o gráfico de uma função
se e somente se qualquer reta vertical a intercepta em no máximo um ponto.
✓ \(y = x^2\) — é função: cada \(x\) dá um único \(y\)
✗ \(x^2 + y^2 = 25\) (circunferência) — não é função: para \(x=3\) temos \(y = 4\) e \(y = -4\)
✓ \(y = \sqrt{x}\) com \(x \geq 0\) — é função (apenas raiz positiva)
No diagrama de setas: a relação é função se nenhum elemento de \(A\)
tem duas setas saindo. Mas um elemento de \(B\) pode receber várias setas (não importa).
Tipos
Tipos de Função
Injetora, sobrejetora e bijetora
Injetora (1-1): elementos distintos de \(A\) têm imagens distintas em \(B\).
\(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)
Sobrejetora (sobre): todo elemento de \(B\) é imagem de algum elemento de \(A\).
\(\text{Im}(f) = CD\)
Bijetora: é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Existe função inversa.
Exemplos
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f(x) = 2x + 1\) — bijetora ✓
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f(x) = x^2\) — nem injetora (f(2) = f(-2) = 4) nem sobrejetora (Im = [0,+∞))
\(f: [0,+\infty) \to [0,+\infty),\; f(x) = x^2\) — bijetora ✓
g∘f
Função Composta
\((g \circ f)(x) = g(f(x))\)
A composição \(g \circ f\) aplica \(f\) primeiro e depois \(g\) ao resultado:
\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]
A saída de \(f\) deve estar no domínio de \(g\).
Em geral, \(g \circ f \neq f \circ g\).
Exemplo — \(f(x) = 2x\) e \(g(x) = x + 3\)
\((g \circ f)(x) = g(2x) = 2x + 3\)
\((f \circ g)(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6\)
\(g \circ f \neq f \circ g\) ✓
Exemplo 2 — \(f(x) = x^2\) e \(g(x) = \sqrt{x}\) com \(x \geq 0\)
\((g \circ f)(x) = \sqrt{x^2} = |x|\)
\((f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x\) para \(x \geq 0\)
f⁻¹
Função Inversa
Desfaz o que f faz — existe só para bijetoras
Se \(f\) é bijetora, existe a função inversa \(f^{-1}\) tal que:
\[f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{e} \quad f(f^{-1}(y)) = y\]
O domínio de \(f^{-1}\) é a imagem de \(f\), e vice-versa.
Graficamente, \(f^{-1}\) é o reflexo de \(f\) em relação à reta \(y = x\).
Como calcular \(f^{-1}\)
1. Escreva \(y = f(x)\)
2. Isole \(x\) em função de \(y\)
3. Troque \(x \leftrightarrow y\) para obter \(y = f^{-1}(x)\)
Exemplo — \(f(x) = 3x - 2\)
\(y = 3x - 2 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{y+2}{3}\)
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{3}\)
Verificação: \(f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \dfrac{x+2}{3} - 2 = x\) ✓
Exemplo 2 — \(f(x) = x^3\) com \(D = \mathbb{R}\)
\(y = x^3 \;\Rightarrow\; x = \sqrt[3]{y}\)
\(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}\)
