Intermediário
Teorema de Pitágoras
Explore o Teorema de Pitágoras: a² = b² + c². Calcule hipotenusa e catetos de triângulos retângulos, identifique ternas pitagóricas e aplique em problemas de distâncias, alturas e construções geométricas.
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Teoria
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Def
Definição
Relação entre hipotenusa e catetos
Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos.
\[a^2 = b^2 + c^2\]
Onde \(a\) é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) e \(b\), \(c\) são os catetos (os lados que formam o ângulo reto).
Met
Como Aplicar
Isolando hipotenusa ou cateto desconhecido
Identifique qual lado é desconhecido e isole-o na fórmula.
Se a hipotenusa for desconhecida: \(a = \sqrt{b^2 + c^2}\).
Se um cateto for desconhecido: \(b = \sqrt{a^2 - c^2}\).
Encontrando a hipotenusa
Catetos \(b = 4\) e \(c = 3\) — achar \(a\)
\(a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\)
\(a = \sqrt{25} = 5\)
Catetos \(b = 5\) e \(c = 12\) — achar \(a\)
\(a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
\(a = \sqrt{169} = 13\)
Encontrando um cateto
Hipotenusa \(a = 15\), cateto \(c = 9\) — achar \(b\)
\(b^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\)
\(b = \sqrt{144} = 12\)
Hipotenusa \(a = 10\), cateto \(c = 6\) — achar \(b\)
\(b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\)
\(b = \sqrt{64} = 8\)
3,4,5
Ternas Pitagóricas
Conjuntos de inteiros que satisfazem o teorema
Uma terna pitagórica é um conjunto de três inteiros positivos
\((a,\,b,\,c)\) que satisfazem \(a^2 = b^2 + c^2\). Reconhecê-las agiliza
cálculos em provas — evita calcular raiz quadrada.
\((3,\,4,\,5)\) — \(25=16+9\)
\((5,\,12,\,13)\) — \(169=144+25\)
\((8,\,15,\,17)\) — \(289=225+64\)
\((7,\,24,\,25)\) — \(625=576+49\)
Múltiplos de uma terna também são ternas: \((6,8,10)\), \((9,12,15)\), \((10,24,26)\)…
⇔
Recíproca e Classificação de Triângulos
Identificar o tipo de triângulo pelo maior lado
Dado um triângulo com lados \(a \geq b \geq c\), compare \(a^2\) com \(b^2 + c^2\)
para classificá-lo — sem precisar medir ângulos.
\(a^2 = b^2 + c^2\)
Triângulo retângulo
Ex.: \(5^2 = 3^2 + 4^2 \;\Rightarrow\; 25=25\) ✓
\(a^2 \gt b^2 + c^2\)
Triângulo obtusângulo
Ex.: lados 4, 5, 7 — \(49 \gt 25+16=41\) ✓
\(a^2 \lt b^2 + c^2\)
Triângulo acutângulo
Ex.: lados 4, 5, 6 — \(36 \lt 25+16=41\) ✓
45°
Triângulos Notáveis
45°-45°-90° e 30°-60°-90°
Dois triângulos retângulos especiais aparecem com frequência em provas.
Conhecer suas relações entre lados elimina a necessidade de cálculo.
Isósceles retângulo — 45°-45°-90°
Catetos iguais a \(\ell\) — achar hipotenusa
\(a^2 = \ell^2 + \ell^2 = 2\ell^2\)
\(a = \ell\sqrt{2}\)
Ex.: cateto 5 → hipotenusa \(5\sqrt{2} \approx 7{,}07\)
Semi-equilátero — 30°-60°-90°
Cateto menor \(\ell\) (oposto a 30°)
Cateto maior \(= \ell\sqrt{3}\) (oposto a 60°)
Hipotenusa \(= 2\ell\) (oposto a 90°)
Relação: \(\ell\;:\;\ell\sqrt{3}\;:\;2\ell\)
Ex.: cateto menor 3 → cateto maior \(3\sqrt{3}\), hipotenusa 6
Rel
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Altura sobre a hipotenusa e projeções dos catetos
Ao traçar a altura \(h\) relativa à hipotenusa \(a\), ela divide
\(a\) em duas projeções: \(m\) (projeção de \(b\)) e \(n\) (projeção de \(c\)),
com \(m + n = a\). Quatro relações decorrem disso.
\(h^2 = m \cdot n\)
altura ao quadrado = produto das projeções
\(b^2 = a \cdot m\)
cateto ao quadrado = hipotenusa × sua projeção
\(c^2 = a \cdot n\)
cateto ao quadrado = hipotenusa × sua projeção
\(a \cdot h = b \cdot c\)
relação de área: base × altura = produto dos catetos
Exemplo
Catetos \(b=6\) e \(c=8\) — achar \(h\), \(m\) e \(n\)
\(a = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10\)
\(b^2 = a \cdot m \;\Rightarrow\; 36 = 10m \;\Rightarrow\; m = 3{,}6\)
\(c^2 = a \cdot n \;\Rightarrow\; 64 = 10n \;\Rightarrow\; n = 6{,}4\)
\(h^2 = m \cdot n = 3{,}6 \times 6{,}4 = 23{,}04\)
\(h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\)
Verificação: \(a \cdot h = 10 \times 4{,}8 = 48 = b \cdot c = 6 \times 8\) ✓
d
Distância entre Dois Pontos
Aplicação no plano cartesiano
Dados dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) no plano cartesiano,
a distância entre eles é obtida aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo
retângulo formado pelas diferenças de coordenadas.
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
Distância entre \((15,\,14)\) e \((31,\,26)\)
\(d = \sqrt{(31-15)^2 + (26-14)^2}\)
\(d = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144}\)
\(d = \sqrt{400}\)
\(d = 20\)
Distância entre \((1,\,1)\) e \((4,\,5)\)
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} \)
\(d = \sqrt{9+16}\)
\(d = \sqrt{25} = 5\)
Prob
Problema Contextualizado
Aplicação em situações reais
Estratégia: (1) identificar o triângulo retângulo oculto no problema;
(2) rotular hipotenusa e catetos; (3) aplicar o teorema; (4) interpretar o resultado.
Problema 1 — Escada apoiada na parede
Uma escada de 5 m apoia-se em uma parede vertical. O pé da escada está a 3 m da base da parede. A que altura a escada toca a parede?
Hipotenusa = escada = 5 m; cateto horizontal = 3 m; cateto vertical = \(h\)
\(5^2 = h^2 + 3^2\)
\(25 = h^2 + 9 \;\Rightarrow\; h^2 = 16\)
\(h = 4\) m
Problema 2 — Diagonal de um retângulo
Um retângulo tem lados de 6 cm e 8 cm. Qual é o comprimento de sua diagonal?
A diagonal forma a hipotenusa; os lados são os catetos.
\(d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(d = \sqrt{100} = 10\) cm
