Avançado
Geometria Analítica
Estude geometria por meio de coordenadas. Calcule distância entre pontos, equação da reta (geral e segmentária), posição relativa de retas, distância ponto-reta e equações de circunferência no plano.
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Def
Ponto no Plano Cartesiano
Coordenadas, distância entre pontos e ponto médio
Todo ponto \(P\) no plano é identificado por um par ordenado \((x, y)\), onde
\(x\) é a abscissa (posição horizontal) e \(y\) é a
ordenada (posição vertical). A origem \(O = (0, 0)\) é a
interseção dos dois eixos.
Distância entre dois pontos
Dados \(A = (x_1, y_1)\) e \(B = (x_2, y_2)\), a fórmula da distância vem diretamente do Teorema de Pitágoras: \(\Delta x\) e \(\Delta y\) são os catetos e \(d_{AB}\) é a hipotenusa.
\[ d_{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]Ponto médio
O ponto médio \(M\) do segmento \(AB\) tem coordenadas iguais às médias aritméticas:
\[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]
Dados \(A(1, 2)\) e \(B(4, 6)\), calcule \(d_{AB}\) e o ponto médio \(M\).
\(d_{AB} = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} \)
\(d_{AB} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)
\(d_{AB} = 5\)
\(M = \left(\dfrac{1+4}{2},\; \dfrac{2+6}{2}\right) = \left(\dfrac{5}{2},\; 4\right)\)
\(M = (2{,}5\;;\; 4)\)
Dados \(A(-3, 1)\) e \(B(1, -3)\), calcule \(d_{AB}\).
\(d_{AB} = \sqrt{(1-(-3))^2 + (-3-1)^2} \)
\(d_{AB} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\)
\(d_{AB} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\)
Dica ENEM: a distância usa o mesmo Teorema de Pitágoras da
geometria plana — \(\Delta x\) e \(\Delta y\) são os catetos.
Eq
Equação da Reta
Formas reduzida, ponto-inclinação e geral
Uma reta no plano cartesiano pode ser escrita de três formas equivalentes.
A mais comum é a forma reduzida, que explicita a inclinação e
o ponto de interseção com o eixo \(y\).
Forma reduzida (slope-intercept)
\[ y = mx + b \]\(m\) é o coeficiente angular (inclinação) e \(b\) é o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo \(y\)).
Forma ponto-inclinação
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]Usada quando se conhece um ponto \((x_1, y_1)\) e a inclinação \(m\).
Forma geral
\[ ax + by + c = 0 \qquad (a \text{ e } b \text{ não ambos nulos}) \]
Equação da reta que passa por \(A(1, 1)\) e \(B(4, 3)\).
\(m = \dfrac{3-1}{4-1} = \dfrac{2}{3}\)
\(y - 1 = \dfrac{2}{3}(x - 1) \)
\(y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}\)
Forma geral: \(2x - 3y + 1 = 0\)
Na reta \(y = -2x + 5\), identifique \(m\) e \(b\).
\(m = -2\) (inclinação negativa → decrescente)
\(b = 5\) (corta o eixo \(y\) em \((0, 5)\))
m
Coeficiente Angular
Inclinação e retas paralelas / perpendiculares
O coeficiente angular \(m\) mede a inclinação da reta. Dados dois pontos
\(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\) com \(x_1 \neq x_2\):
\[
m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
Retas paralelas
Duas retas distintas são paralelas se e somente se têm o mesmo coeficiente angular.
\(r_1 \parallel r_2 \;\Leftrightarrow\; m_1 = m_2\)
Retas perpendiculares
Duas retas não verticais são perpendiculares quando o produto dos coeficientes angulares é \(-1\).
\(r_1 \perp r_2 \;\Leftrightarrow\; m_1 \cdot m_2 = -1\)
A reta \(r: y = 3x - 2\) tem \(m = 3\). Qual a inclinação de uma reta perpendicular?
\(m_\perp \cdot 3 = -1 \;\Rightarrow\; m_\perp = -\dfrac{1}{3}\)
Ex.: \(y = -\dfrac{1}{3}x + 4\) é perpendicular a \(r\).
Retas \(y = 2x + 1\) e \(y = 2x - 5\): qual a relação entre elas?
\(m_1 = m_2 = 2\), mas \(b_1 \neq b_2\).
Paralelas distintas — nunca se cruzam.
Casos especiais: reta horizontal tem \(m = 0\) → equação \(y = k\);
reta vertical não possui \(m\) definido → equação \(x = k\).
Pos
Posições Relativas de Duas Retas
Paralelas, concorrentes e coincidentes
Dadas duas retas no plano, há três possibilidades:
- Paralelas distintas — mesmo \(m\), diferentes \(b\): zero pontos comuns
- Concorrentes — coeficientes angulares diferentes: exatamente um ponto de interseção
- Coincidentes — mesmo \(m\) e mesmo \(b\): infinitos pontos em comum (são a mesma reta)
\(r_1: y = 2x + 3\) e \(r_2: y = 2x - 1\)
\(m_1 = m_2 = 2\), mas \(b_1 = 3 \neq b_2 = -1\)
Paralelas distintas
\(r_1: y = x + 1\) e \(r_2: y = -x + 5\)
\(m_1 = 1 \neq m_2 = -1\) → concorrentes
\(x + 1 = -x + 5 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \)
\(x = 2,\; y = 3\)
Ponto de interseção: \((2,\; 3)\)
\(r_1: 2x - y + 3 = 0\) e \(r_2: 4x - 2y + 6 = 0\)
Dividindo \(r_2\) por 2: \(2x - y + 3 = 0\) — idêntica a \(r_1\).
Coincidentes
Eq
Distância Ponto–Reta
Fórmula direta a partir da forma geral
A distância do ponto \(P(x_0, y_0)\) à reta \(r: ax + by + c = 0\) é:
\[
d(P,\, r) = \dfrac{\,|ax_0 + by_0 + c|\,}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
Distância do ponto \(P(3, -1)\) à reta \(r: 2x - y + 4 = 0\).
\(a=2,\; b=-1,\; c=4,\; x_0=3,\; y_0=-1\)
\(d = \dfrac{|2(3) + (-1)(-1) + 4|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{|6+1+4|}{\sqrt{5}} = \dfrac{11}{\sqrt{5}}\)
\(d = \dfrac{11\sqrt{5}}{5} \approx 4{,}92\)
Distância da origem \(O(0,0)\) à reta \(3x + 4y - 15 = 0\).
\(d = \dfrac{|3(0) + 4(0) - 15|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = \dfrac{15}{5}\)
\(d = 3\)
Eq
Equação da Circunferência
Forma canônica e forma geral
A circunferência de centro \(C(a, b)\) e raio \(r\) é o conjunto de todos os pontos
do plano à distância \(r\) do centro. Aplicando a fórmula de distância, obtemos:
\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \qquad \text{(forma canônica)}
\]
Forma geral
Expandindo a forma canônica:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]onde \(D = -2a\), \(E = -2b\) e \(F = a^2 + b^2 - r^2\). Para converter da forma geral à canônica, use completamento de quadrados.
Centro \(C(3, -2)\) e raio \(r = 4\): escreva a equação.
\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\)
Forma geral: \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0\)
Identifique centro e raio: \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0\)
Complete o quadrado: \((x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) =\)
\( -4 + 4 + 9\)
\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 9\)
Centro \(C(2,\,-3)\), raio \(r = 3\)
Pos
Posição Relativa Ponto–Circunferência
Interior, na curva ou exterior
Para verificar a posição do ponto \(P(x_0, y_0)\) em relação à circunferência de
centro \(C(a, b)\) e raio \(r\), calcule \(d = d(P, C)\):
- \(d \;<\; r\) → \(P\) está no interior
- \(d \;=\; r\) → \(P\) está na circunferência
- \(d \;>\; r\) → \(P\) está no exterior
Circunferência \((x-2)^2 + (y-1)^2 = 9\), centro \(C(2,1)\), \(r = 3\).
Classifique os pontos \(A(5, 1)\), \(B(0, 0)\) e \(D(2, 4)\).
\(d(A,C) = \sqrt{9+0} = 3 = r\) → na circunferência
\(d(B,C) = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 < 3\) → interior
\(d(D,C) = \sqrt{0+9} = 3 = r\) → na circunferência
Atalho: substitua \((x_0, y_0)\) no lado esquerdo da equação.
Compare o resultado com \(r^2\): menor → interior; igual → na curva; maior → exterior.
