Intermediário

Dízima Periódica

Entenda o que são dízimas periódicas simples e compostas, como identificá-las e como convertê-las em fração geratriz. Aprenda a representar frações como decimais e vice-versa com exemplos práticos e objetivos.

Exercícios 60

Questões 33

PDF's 9

Teoria

Exercícios

Questões

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Def

Definição

Dízima periódica e números racionais

Uma dízima periódica é um número decimal cuja parte decimal se repete infinitamente a partir de um certo ponto. A parte que se repete chama-se período e é indicada pela notação \(\overline{\,\cdot\,}\).

Toda dízima periódica é um número racional — ou seja, pode ser escrita como fração \(\tfrac{a}{b}\) com \(a, b \in \mathbb{Z}\) e \(b \neq 0\). A fração correspondente é chamada de fração geratriz.

Exemplos

\(0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\)

\(1{,}272727\ldots = 1{,}\overline{27}\)

\(0{,}1666\ldots = 0{,}1\overline{6}\)

Tipos

Simples: a parte decimal contém somente o período — não há dígitos não periódicos entre a vírgula e o início da repetição. Ex: \(0{,}\overline{6}\), \(2{,}\overline{56}\).

Composta: existe uma parte não periódica de \(n\) dígitos antes do período de \(p\) dígitos. Ex: \(0{,}5\overline{2}\), \(1{,}68\overline{74}\).

Alg

Método Algébrico

De onde vêm as fórmulas

Chame a dízima de \(x\). Multiplique por \(10^p\) para deslocar exatamente um período. Subtraia \(x\) de \(10^p \cdot x\) — a parte periódica se cancela e sobra uma equação com solução inteira.

Derivação — Simples \(0{,}\overline{7}\)

Seja \(x = 0{,}777\ldots\) \(10x = 7{,}777\ldots\) \(10x - x = 7{,}777\ldots - 0{,}777\ldots\) \(9x = 7\) \(x = \dfrac{7}{9}\) O denominador tem exatamente \(p\) noves porque subtraímos \(10^p \cdot x - x = (10^p - 1)\,x\). Daí vem a fórmula \(\dfrac{x \cdot 10^p - x}{10^p - 1}\).

Derivação — Composta \(1{,}5\overline{3}\)

Seja \(x = 1{,}5333\ldots\) \(10x = 15{,}333\ldots\) (\(\times 10^n\), desloca parte não periódica) \(100x = 153{,}333\ldots\) (\(\times 10^{n+p}\), desloca período inteiro) \(100x - 10x = 153{,}33\ldots - 15{,}33\ldots\) \(90x = 138\) \(x = \dfrac{138}{90} = \dfrac{23}{15}\) O denominador \(10^{n+p} - 10^n\) equivale a \(p\) noves seguidos de \(n\) zeros — consequência direta de subtrair as duas equações.

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Atalho Mental

Cálculo rápido da fração geratriz

Simples: numerador = período; denominador = \(p\) noves.
Composta: numerador = (número completo sem vírgula) − (parte não periódica); denominador = \(p\) noves seguidos de \(n\) zeros.

Simples — exemplos rápidos

\(0{,}\overline{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)

\(0{,}\overline{37} = \dfrac{37}{99}\)

\(0{,}\overline{259} = \dfrac{259}{999} = \dfrac{7}{27}\)

\(2{,}\overline{56} = 2 + \dfrac{56}{99} = \dfrac{254}{99}\)

Composta — exemplos rápidos

\(0{,}5\overline{2}\): \(\dfrac{52 - 5}{90} = \dfrac{47}{90}\)

\(0{,}1\overline{6}\): \(\dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}\)

\(1{,}68\overline{74}\): \(\dfrac{16874 - 168}{9900} = \dfrac{16706}{9900} = \dfrac{8353}{4950}\)

Fração Geratriz — Simples

Fórmula e exemplos com simplificação

Para uma dízima \(x\) com período de \(p\) algarismos. O denominador \(10^p - 1\) é sempre \(p\) noves (\(9\), \(99\), \(999\ldots\)):

\[\frac{x \cdot 10^{p} - x}{10^{p} - 1}\]

Exemplo 1 — \(0{,}\overline{7}\) (p = 1)

\(\dfrac{0{,}777\ldots \cdot 10 - 0{,}777\ldots}{10 - 1} = \dfrac{7{,}77\ldots - 0{,}77\ldots}{9}\) \(= \dfrac{7}{9}\) (irredutível)

Exemplo 2 — \(0{,}\overline{259}\) (p = 3)

\(\dfrac{259{,}259\ldots - 0{,}259\ldots}{999} = \dfrac{259}{999}\) \(\text{MDC}(259, 999) = 37\) \(= \dfrac{259 \div 37}{999 \div 37} = \dfrac{7}{27}\)

Exemplo 3 — \(2{,}\overline{56}\) (parte inteira ≠ 0, p = 2)

\(\dfrac{2{,}565656\ldots \cdot 100 - 2{,}565656\ldots}{99} = \dfrac{256{,}56\ldots - 2{,}56\ldots}{99}\) \(= \dfrac{254}{99}\) \(\text{MDC}(254, 99) = 1\) \(= \dfrac{254}{99}\) (irredutível)

Fração Geratriz — Composta

Fórmula e exemplos com simplificação

\(n\) = dígitos não periódicos · \(p\) = dígitos periódicos. O denominador \(10^{n+p} - 10^n\) equivale a \(p\) noves seguidos de \(n\) zeros:

\[\frac{x \cdot 10^{n+p} \;-\; x \cdot 10^{n}}{10^{n+p} - 10^{n}}\]

Exemplo 1 — \(1{,}5\overline{3}\) (n = 1, p = 1, denom. = 90)

\(\dfrac{153{,}33\ldots - 15{,}33\ldots}{90} = \dfrac{153 - 15}{90} = \dfrac{138}{90}\) \(\text{MDC}(138, 90) = 6\) \(= \dfrac{138 \div 6}{90 \div 6} = \dfrac{23}{15}\)

Exemplo 2 — \(2{,}74\overline{63}\) (n = 2, p = 2, denom. = 9900)

\(\dfrac{27463{,}\overline{63} - 274{,}\overline{63}}{9900} = \dfrac{27463 - 274}{9900} = \dfrac{27189}{9900}\) \(\text{MDC}(27189, 9900) = 9\) \(= \dfrac{27189 \div 9}{9900 \div 9} = \dfrac{3021}{1100}\)

Exemplo 3 — \(0{,}5\overline{2}\) (n = 1, p = 1, denom. = 90)

\(\dfrac{5{,}22\ldots - 0{,}52\ldots \cdot 10}{90}\) pelo atalho: \(\dfrac{52 - 5}{90}\) \(= \dfrac{47}{90}\) \(\text{MDC}(47, 90) = 1\) \(= \dfrac{47}{90}\) (irredutível)