Avançado

Função Exponencial

Estude funções do tipo f(x) = aˣ com a > 0 e a ≠ 1. Analise gráficos de crescimento e decrescimento exponencial, resolva equações exponenciais e aplique em modelos de juros compostos e crescimento populacional.

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Teoria

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Def

Definição

O que é a função exponencial?

A função exponencial é definida por $f(x) = a^x$, onde a base $a$ é uma constante real positiva diferente de 1 ($a > 0$ e $a \neq 1$) e o expoente $x$ é a variável independente.

O domínio é $\mathbb{R}$ (qualquer valor real pode ser o expoente) e a imagem é $(0, +\infty)$ — a função nunca é zero nem negativa.

A restrição $a \neq 1$ é necessária porque $1^x = 1$ para todo $x$, o que não é uma função exponencial de verdade (seria constante). A restrição $a > 0$ garante que $a^x$ seja sempre um número real.

Exemplos

$f(x) = 2^x$ (base 2, crescente) $f(3) = 2^3 = 8$ $f(-2) = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ $f(0) = 2^0 = 1$ (todo $a^0 = 1$)

$f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ (base 1/2, decrescente) $f(3) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ $f(-2) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 4$ Note: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$

Propriedade fundamental: $a^0 = 1$ para qualquer base válida. Portanto, o gráfico de toda função exponencial passa pelo ponto $(0, 1)$.

Graf

Gráfico

Crescimento, decrescimento e assíntota horizontal

O comportamento do gráfico de $f(x) = a^x$ depende do valor da base $a$: se $a > 1$ a função é crescente; se $0 < a < 1$ a função é decrescente. Em ambos os casos, o gráfico passa por $(0, 1)$ e tem o eixo $x$ como assíntota horizontal (a curva se aproxima mas nunca toca o eixo).

Gráficos de f(x) = 2^x crescente e f(x) = (1/2)^x decrescente, ambas passando por (0,1)

$a > 1$ → função crescente Quanto maior $x$, maior $f(x)$. Exemplo: $f(x) = 2^x$. Quando $x \to -\infty$, $f(x) \to 0^+$ (assíntota)

$0 < a < 1$ → função decrescente Quanto maior $x$, menor $f(x)$. Exemplo: $f(x) = (1/2)^x$. Quando $x \to +\infty$, $f(x) \to 0^+$ (assíntota)

Imagem: a função exponencial nunca assume o valor 0 nem valores negativos — a imagem é sempre $(0, +\infty)$.

Número de Euler

A base natural das exponenciais

O número de Euler $\mathrm{e}$ é a base da exponencial natural, definido como o limite: \[ \mathrm{e} = \lim_{n \to \infty}\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828\ldots \]

A função $f(x) = e^x$ é a exponencial mais importante da matemática — ela aparece em crescimento contínuo, probabilidade, física e engenharia. Uma propriedade notável é que a derivada de $e^x$ é ela mesma.

$e^1 \approx 2{,}718$ $e^2 \approx 7{,}389$ $e^0 = 1$ (ponto de passagem)

$e^{-1} \approx 0{,}368$ $e^{0{,}5} \approx 1{,}649$ $\ln(\mathrm{e}) = 1$ ($\ln$ é o logaritmo de base e)

Equações Exponenciais

Quando a incógnita está no expoente

Uma equação exponencial tem a incógnita no expoente. A estratégia principal é igualar as bases: se $a^f(x) = a^{g(x)}$, então $f(x) = g(x)$. Quando as bases não podem ser igualadas, aplica-se logaritmo nos dois lados.

Tipo 1 — igualação de bases

$2^x = 32$ $2^x = 2^5$ (32 = 2⁵) $x = 5$

$3^{2x - 1} = 27$ $3^{2x - 1} = 3^3$ $2x - 1 = 3 \;\Rightarrow\; 2x = 4$ $x = 2$

$4^x = 8$ $(2^2)^x = 2^3 \;\Rightarrow\; 2^{2x} = 2^3$ $2x = 3$ $x = \dfrac{3}{2}$

$9^x = \dfrac{1}{27}$ $3^{2x} = 3^{-3}$ $2x = -3$ $x = -\dfrac{3}{2}$

Tipo 2 — bases diferentes (uso de logaritmo)

$2^x = 5$ (5 não é potência de 2) Aplica $\log$ em ambos os lados: $\log(2^x) = \log 5$ $x \cdot \log 2 = \log 5$ $x = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx \dfrac{0{,}699}{0{,}301} \approx 2{,}32$

Tipo 3 — equação como quadrática (substituição)

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ Seja $y = 2^x$: $(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; y^2 - 5y + 4 = 0$ $(y - 1)(y - 4) = 0 \;\Rightarrow\; y = 1$ ou $y = 4$ $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ Soluções: $x = 0$ e $x = 2$

Apl

Aplicações

Crescimento, decaimento e juros compostos

A função exponencial modela situações em que uma grandeza cresce ou decresce por um fator multiplicativo constante a cada intervalo de tempo.

Crescimento populacional

Uma colônia de bactérias dobra a cada hora. Partindo de 500 bactérias, quantas haverá após 6 horas? $N(t) = 500 \cdot 2^t$ $N(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64$ $N(6) = 32\,000$ bactérias

Decaimento radioativo

A meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos. Uma amostra parte de 200 g. Quanto restará após 11460 anos? 11460 anos = 2 meias-vidas → $M(t) = 200 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5730}$ $M(11460) = 200 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = 200 \cdot \dfrac{1}{4}$ $M(11460) = 50$ g

Juros compostos

Um capital de R$ 2000,00 é aplicado a juros compostos de 5% ao mês. Qual o montante após 4 meses? $M = C \cdot (1 + i)^t = 2000 \cdot (1{,}05)^4$ $(1{,}05)^4 \approx 1{,}2155$ $M \approx$ R$ 2431,01 Comparado a juros simples: R$ 2000 + 4×R$100 = R$ 2400. Os juros compostos rendem mais.