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Def

Definição

Razão, proporção e regra de três

Uma proporção é a igualdade entre duas razões: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$. A regra de três usa essa igualdade para encontrar um valor desconhecido $x$ a partir de três valores conhecidos.

Quando a relação envolve duas grandezas, chamamos de regra de três simples. Com três ou mais grandezas, chamamos de regra de três composta.

Como identificar o tipo de proporção

Para cada par de grandezas, faça a pergunta:

“Se A aumenta, B aumenta ou diminui?”
Aumenta → proporção direta (↓↓)
Diminui → proporção inversa (↓↑)

✕

Produto Cruzado

Método geral de resolução

Em qualquer proporção $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: \[a \cdot d = b \cdot c\] Este é o passo que transforma a fração em uma equação linear para encontrar $x$.

Exemplo

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{3}$ $2 \cdot 3 = 1 \cdot x$ $x = 6$

$\dfrac{x}{6} = \dfrac{2}{4}$ $4 \cdot x = 2 \cdot 6$ $x = \dfrac{12}{4} = 3$

Dir

Simples — Proporção Direta

Grandezas que crescem na mesma razão

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma provoca o aumento da outra na mesma razão — e o produto de uma pelo inverso da outra é constante: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Exemplo 1 — horas e peças

Um trabalhador faz 1 peça em 2 horas. Quantas horas para fazer 3 peças?
Se o número de peças aumenta, o número de horas também aumenta → direta.

(↓) Horas	Peças (↓)
2	1
x	3

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{3}$

$1 \cdot x = 2 \cdot 3$ (produto cruzado)

$x = 6 \text{ horas}$

Exemplo 2 — distância e tempo

Um carro percorre 120 km em 2 horas. Quantos km percorre em 5 horas?

(↓) km	Horas (↓)
120	2
x	5

$\dfrac{120}{x} = \dfrac{2}{5}$

$2x = 120 \cdot 5 = 600$

$x = 300 \text{ km}$

Inv

Simples — Proporção Inversa

Grandezas que variam em sentidos opostos

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma provoca a diminuição da outra na mesma razão. Na equação, a fração da grandeza inversa é invertida antes de aplicar o produto cruzado.

Exemplo 1 — dias e funcionários

2 funcionários concluem uma tarefa em 6 dias. Quantos dias para 4 funcionários?
Se o número de funcionários aumenta, o número de dias diminui → inversa.

(↓) Dias	Funcionários (↑)
6	2
x	4

Invertemos a fração de Dias $\left(\tfrac{6}{x} \to \tfrac{x}{6}\right)$:

$\dfrac{x}{6} = \dfrac{2}{4}$

$4 \cdot x = 2 \cdot 6 = 12$ (produto cruzado)

$x = \dfrac{12}{4}$

$x = 3 \text{ dias}$

Exemplo 2 — canos e tempo

1 cano enche uma piscina em 12 horas. Em quantas horas 3 canos iguais a encheriam?

(↓) Horas	Canos (↑)
12	1
x	3

$\dfrac{x}{12} = \dfrac{1}{3}$

$3 \cdot x = 1 \cdot 12$

$x = 4 \text{ horas}$

Comp

Regra de Três Composta

Três ou mais grandezas envolvidas

Quando há três ou mais grandezas, multiplica-se a fração principal pelo produto das frações das demais. Grandezas diretas entram com a fração $\frac{\text{valor}_1}{\text{valor}_2}$; grandezas inversas entram com a fração invertida $\frac{\text{valor}_2}{\text{valor}_1}$.

Método passo a passo

1. Identifique a grandeza que contém $x$ (grandeza principal).

2. Para cada outra grandeza, pergunte: se ela aumenta, a principal aumenta ou diminui?

3. Monte: $\dfrac{\text{principal}_1}{x} = \prod \text{frações}$, usando $\frac{v_1}{v_2}$ para diretas e $\frac{v_2}{v_1}$ para inversas.

4. Resolva com produto cruzado.

Exemplo — pedreiros, paredes e dias

3 pedreiros constroem 2 paredes em 4 dias. Quantos dias 6 pedreiros levariam para construir 6 paredes?

Análise das proporções em relação a Dias

↓↑ Dias × Pedreiros → inversa: mais pedreiros, menos dias.

↓↓ Dias × Paredes → direta: mais paredes, mais dias.

(↓) Dias	Pedreiros (↑)	Paredes (↓)
4	3	2
x	6	6

Pedreiros é inversa → fração invertida $\tfrac{6}{3}$. Paredes é direta → fração normal $\tfrac{2}{6}$:

$\dfrac{4}{x} = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{2}{6}$

$\dfrac{4}{x} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$

$2x = 4 \cdot 3 = 12$

$x = 6 \text{ dias}$

%

Porcentagem

Proporção de 100, conversões e aplicações práticas

Porcentagem é uma razão com denominador 100. O símbolo $\%$ lê-se "por cento": \[p\% = \frac{p}{100}\]

Conversões: fração ↔ decimal ↔ %

$25\% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$ $\dfrac{1}{4} = 25\%$

$0{,}08 = \dfrac{8}{100}$ $0{,}08 = 8\%$

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100}$ $\dfrac{3}{5} = 60\%$

Cálculo de porcentagem de um valor

Multiplique o valor pelo fator decimal correspondente: \[\text{resultado} = V \times \frac{p}{100}\]

Calcule $30\%$ de R$ 250. $250 \times 0{,}30 = 75$ $30\%$ de R$ 250 = R$ 75

Que porcentagem é 18 de 120? $\dfrac{18}{120} \times 100 = \dfrac{1800}{120} = 15$ 18 representa $15\%$ de 120

Aumento e desconto percentual

Aumento de $p\%$: multiplique pelo fator $(1 + p/100)$. Um produto de R$ 180 sofre aumento de 15%. $180 \times 1{,}15 = 207$ Novo preço: R$ 207

Desconto de $p\%$: multiplique pelo fator $(1 - p/100)$. Um produto de R$ 350 tem desconto de 20%. $350 \times 0{,}80 = 280$ Preço final: R$ 280

Variação percentual: preço subiu de R$ 40 para R$ 52. Qual o aumento? $\dfrac{52 - 40}{40} \times 100 = \dfrac{12}{40} \times 100$ $= 30\%$ de aumento

Aumentos e descontos sucessivos não se somam diretamente: aumento de 20% seguido de desconto de 20% não retorna ao valor original. $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ → resultado é 4% abaixo do original.

Regra de Três