Intermediário
Polígonos Regulares
Estude polígonos regulares: soma dos ângulos internos pela fórmula (n−2)×180°, ângulo externo (360°/n), apótema e área A = (P×a)/2. Aprofunde-se no hexágono regular, onde o lado é igual ao raio.
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Def
Polígono Regular
Todos os lados e ângulos iguais
Um polígono regular tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
É ao mesmo tempo equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).
Triângulo equilátero (\(n=3\)) — lados e ângulos de 60°
Quadrado (\(n=4\)) — lados iguais e ângulos de 90°
Pentágono regular (\(n=5\)), hexágono (\(n=6\)), octógono (\(n=8\))…
Si
Soma dos Ângulos Internos
\(S_i = (n-2) \times 180°\)
\[\displaystyle S_i = (n - 2) \times 180°\]
Para um polígono regular, cada ângulo interno mede \(\dfrac{(n-2) \times 180°}{n}\).
| Polígono | \(n\) | \(S_i\) | Ângulo |
| Triângulo | 3 | 180° | 60° |
| Quadrado | 4 | 360° | 90° |
| Pentágono | 5 | 540° | 108° |
| Hexágono | 6 | 720° | 120° |
| Octógono | 8 | 1080° | 135° |
Se
Ângulo Externo
Soma sempre 360°
O ângulo externo é suplementar ao interno: \(\alpha_e = 180° - \alpha_i\).
A soma de todos os ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre:
\[\displaystyle S_e = 360°\]
Cada ângulo externo de um polígono regular: \(\alpha_e = \dfrac{360°}{n}\)
Hexágono: \(\alpha_e = 360°/6 = 60°\); \(\alpha_i = 120°\) ✓
Octógono: \(\alpha_e = 360°/8 = 45°\); \(\alpha_i = 135°\) ✓
a
Apótema e Área
Distância do centro ao lado; \(A = \frac{P \cdot a}{2}\)
O apótema (\(a\)) é a distância do centro ao ponto médio de um lado.
Ele é perpendicular ao lado e pode ser calculado pelo triângulo retângulo formado
pelo centro, pelo vértice e pelo ponto médio do lado.
A área do polígono regular é: \[\displaystyle A = \frac{P \cdot a}{2}\] onde \(P = n \cdot l\) é o perímetro e \(l\) é o comprimento do lado.
A área do polígono regular é: \[\displaystyle A = \frac{P \cdot a}{2}\] onde \(P = n \cdot l\) é o perímetro e \(l\) é o comprimento do lado.
Exemplo — hexágono regular com lado \(l = 4\,\text{cm}\)
Apótema: \(a = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\text{cm}\)
Perímetro: \(P = 6 \times 4 = 24\,\text{cm}\)
\(A = \dfrac{24 \times 2\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57\,\text{cm}^2\)
⬡
Hexágono Regular
Caso especial: lado = raio
No hexágono regular, o lado é igual ao raio da circunferência circunscrita.
Isso torna os cálculos particularmente simples:
\(l = R\) (raio da circunscrita)
Apótema: \(a = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}\)
Área: \(A = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,l^2\)
Para \(l = 6\): \(A = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 54\sqrt{3} \approx 93{,}5\,\text{cm}^2\)
O hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros congruentes com lado \(l\).
A área de cada triângulo é \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,l^2\), logo a área total é \(6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,l^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,l^2\).
