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geometriaEspacial
Calcule área e volume dos sólidos geométricos: prismas, pirâmides, cilindro, cone e esfera. Explore planificações, diagonais espaciais e aplique em problemas de embalagens, recipientes e construções.
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Def
Prismas
Área total e volume
Um prisma é um sólido com duas bases congruentes e paralelas
(polígonos) ligadas por faces laterais retangulares (no caso reto). O nome vem
do formato da base: prisma triangular, quadrangular, hexagonal etc.
Sendo \(P_{\text{base}}\) o perímetro da base e \(h\) a altura do prisma:
\[ A_{\text{lateral}} = P_{\text{base}} \times h \] \[ A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + 2 \cdot A_{\text{base}} \] \[ V = A_{\text{base}} \times h \]
Uma caixa retangular tem dimensões \(5 \times 3 \times 4\,\text{cm}\).
Calcule a área total e o volume.
\(A_{\text{base}} = 5 \times 3 = 15\,\text{cm}^2\)
\(P_{\text{base}} = 2(5+3) = 16\,\text{cm}\)
\(A_{\text{lateral}} = 16 \times 4 = 64\,\text{cm}^2\)
\(A_{\text{total}} = 64 + 2 \times 15 = 94\,\text{cm}^2\)
\(V = 15 \times 4 = 60\,\text{cm}^3\)
Prisma de base equilátera com lado \(a = 6\,\text{cm}\) e \(h = 10\,\text{cm}\).
\(A_{\text{base}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2\)
\(P_{\text{base}} = 18\,\text{cm}\)
\(A_{\text{lateral}} = 18 \times 10 = 180\,\text{cm}^2\)
\(V = 9\sqrt{3} \times 10 = 90\sqrt{3} \approx 155{,}9\,\text{cm}^3\)
Def
Pirâmides
Área lateral, área total e volume
Uma pirâmide tem uma base poligonal e faces laterais triangulares
que convergem para um único ponto, o ápice. A altura \(h\) é a
distância do ápice à base. A apótema \(a_p\) é a altura de uma
face triangular lateral.
O volume da pirâmide é sempre 1/3 do volume do prisma de mesma
base e altura — fato muito cobrado no ENEM.
Pirâmide de base quadrada com lado \(4\,\text{cm}\) e \(h = 3\,\text{cm}\):
calcule a apótema, área lateral e volume.
Apótema da base (centro ao meio do lado): \(\dfrac{4}{2} = 2\,\text{cm}\)
\(a_p = \sqrt{h^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\,\text{cm}\)
\(A_{\text{lateral}} = \dfrac{16 \times \sqrt{13}}{2} = 8\sqrt{13} \approx 28{,}8\,\text{cm}^2\)
\(V = \dfrac{16 \times 3}{3} = 16\,\text{cm}^3\)
Cil
Cilindro
Área lateral, área total e volume
O cilindro reto circular tem duas bases circulares de raio \(r\)
e altura \(h\). A área lateral corresponde ao retângulo que se forma ao
"desenrolar" a superfície lateral (base \(2\pi r\), altura \(h\)).
Cilindro com \(r = 3\,\text{cm}\) e \(h = 10\,\text{cm}\).
\(A_{\text{lateral}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi\,\text{cm}^2\)
\(A_{\text{total}} = 2\pi \cdot 3 \cdot (10 + 3) = 78\pi\,\text{cm}^2\)
\(V = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi\,\text{cm}^3 \approx 282{,}7\,\text{cm}^3\)
Volume \(V = 200\pi\,\text{cm}^3\) e \(r = 5\,\text{cm}\). Qual a altura?
\(200\pi = \pi \cdot 25 \cdot h \;\Rightarrow\; 25h = 200\)
\(h = 8\,\text{cm}\)
Con
Cone
Geratriz, área lateral e volume
O cone reto circular tem uma base circular de raio \(r\), altura
\(h\) e geratriz \(g\) — distância do ápice a qualquer ponto
da circunferência da base. Pelo Teorema de Pitágoras:
\[
g = \sqrt{r^2 + h^2}
\]
\[
A_{\text{lateral}} = \pi r g
\]
\[
A_{\text{total}} = \pi r\,(g + r)
\]
\[
V = \frac{\pi r^2 h}{3}
\]
Assim como a pirâmide, \(V_{\text{cone}} = \dfrac{1}{3}\,V_{\text{cilindro}}\)
de mesma base e altura.
Cone com \(r = 6\,\text{cm}\) e \(h = 8\,\text{cm}\).
\(g = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\)
\(A_{\text{lateral}} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\,\text{cm}^2\)
\(A_{\text{total}} = \pi \cdot 6 \cdot (10 + 6) = 96\pi\,\text{cm}^2 \approx 301{,}6\,\text{cm}^2\)
\(V = \dfrac{\pi \cdot 36 \cdot 8}{3} = 96\pi\,\text{cm}^3 \approx 301{,}6\,\text{cm}^3\)
Esf
Esfera
Área da superfície e volume
A esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço à distância
\(r\) (raio) de um ponto fixo (centro). Toda secção plana que passa pelo centro
é chamada de círculo máximo.
Esfera de raio \(r = 3\,\text{cm}\).
\(A_{\text{sup}} = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\,\text{cm}^2 \approx 113{,}1\,\text{cm}^2\)
\(V = \dfrac{4\pi \cdot 27}{3} = 36\pi\,\text{cm}^3 \approx 113{,}1\,\text{cm}^3\)
Volume \(V = 288\pi\,\text{cm}^3\). Qual o raio?
\(\dfrac{4\pi r^3}{3} = 288\pi \;\Rightarrow\; r^3 = 216\)
\(r = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{cm}\)
Relação curiosa: a área da esfera (\(4\pi r^2\)) é exatamente
4 vezes a área do círculo máximo (\(\pi r^2\)).
Rev
Sólidos de Revolução
Cilindro e cone gerados por rotação
Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma figura plana
em torno de um eixo. Os dois casos mais importantes do Ensino Médio são:
- Retângulo girado em torno de um lado → cilindro
- Triângulo retângulo girado em torno de um cateto → cone
Retângulo de lados \(r\) e \(h\) girado em torno de \(h\)
O lado \(r\) descreve um círculo de raio \(r\); o sólido gerado é um cilindro.
\(V = \pi r^2 h\) \(A_{\text{lat}} = 2\pi r h\)
Triângulo retângulo de catetos \(r\) e \(h\) girado em torno de \(h\)
O cateto \(r\) descreve um círculo; a hipotenusa gera a superfície cônica.
\(V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\) \(g = \sqrt{r^2 + h^2}\)
Um retângulo \(3 \times 5\,\text{cm}\) gira em torno do lado de \(5\,\text{cm}\).
Calcule \(V\) e \(A_{\text{total}}\).
Cilindro com \(r = 3\,\text{cm}\) e \(h = 5\,\text{cm}\).
\(V = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi\,\text{cm}^3\)
\(A_{\text{total}} = 2\pi \cdot 3 \cdot (5 + 3) = 48\pi\,\text{cm}^2\)
