Básico
Números Primos e Fatoração
Descubra os números primos e compostos, aplique o crivo de Eratóstenes e domine a decomposição em fatores primos. Veja como a fatoração é fundamental para calcular MMC, MDC e resolver problemas de distribuição.
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Teoria
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Def
Números Primos e Compostos
Divisores e classificação
Um número natural maior que 1 é primo se seus únicos divisores são
1 e ele mesmo. Caso contrário, é composto
(possui pelo menos um divisor além de 1 e si mesmo).
Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15…
Observação: 1 não é primo nem composto por convenção.
2 é o único número primo par.
Crivo
Crivo de Eratóstenes
Método para encontrar todos os primos até N
Para encontrar todos os primos até \(N\):
1. Liste todos os inteiros de 2 até \(N\).
2. Comece com \(p = 2\). Marque como compostos todos os múltiplos de \(p\) maiores que \(p\).
3. Avance para o próximo número não marcado e repita.
4. Pare quando \(p^2 > N\). Os não marcados são primos.
Primos até 30
Eliminando múltiplos de 2, 3, 5:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
÷p
Decomposição em Fatores Primos
Todo composto é produto de primos
Todo número composto pode ser escrito como produto de fatores primos
(Teorema Fundamental da Aritmética). Divida successivamente pelo menor
primo que o divide até chegar em 1.
Exemplo — decompor 60
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Exemplo — decompor 84
| 84 | 2 |
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
?
Teste de Primalidade
Como verificar se um número é primo
Para verificar se \(n\) é primo, teste a divisibilidade por todos os primos
\(p \leq \sqrt{n}\). Se nenhum divide \(n\), então \(n\) é primo.
Exemplo — verificar 97
\(\sqrt{97} \approx 9{,}8\) → testar primos até 9: 2, 3, 5, 7
97 não é divisível por nenhum deles.
Logo, 97 é primo.
Co
Números Coprimos
Quando dois números não compartilham fatores primos
Dois números são coprimos (ou primos entre si) quando não
compartilham nenhum fator primo em comum — isto é, seu MDC é igual a 1.
\(9 = 3^2\) e \(16 = 2^4\) — sem fatores comuns → MDC(9, 16) = 1 ✓
\(35 = 5 \times 7\) e \(48 = 2^4 \times 3\) — sem fatores comuns → MDC(35, 48) = 1 ✓
Números consecutivos são sempre coprimos: MDC(13, 14) = 1
τ
Número de Divisores
Fórmula a partir dos fatores primos
Se \(n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}\), o número total
de divisores de \(n\) é:
\[\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)\]
Cada expoente contribui com \((a_i + 1)\) escolhas: 0, 1, …, \(a_i\).
Exemplo — divisores de 60
\(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
\(\tau(60) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 = \)12 divisores
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ✓
Exemplo — divisores de 72
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
\(\tau(72) = (3+1)(2+1) = 4 \times 3 = \)12 divisores
