Avançado
Números Complexos
Explore números complexos z = a + bi, onde i² = −1. Aprenda operações algébricas, módulo, argumento, representação no plano de Gauss, forma trigonométrica e potências de i. Entenda raízes com Δ < 0.
Exercícios
60
Questões
51
PDF's
6
Teoria
Exercícios
Questões
PDFs
Def
Definição
O que é um número complexo?
Um número complexo é toda expressão da forma \(z = a + bi\),
onde \(a, b \in \mathbb{R}\) e \(i\) é a unidade imaginária,
definida por \(i^2 = -1\).
\(a = \text{Re}(z)\) é a parte real e \(b = \text{Im}(z)\) é a parte imaginária. O conjunto dos números complexos é denotado por \(\mathbb{C}\).
Os números reais são um caso particular de complexos com \(b = 0\). Os números puramente imaginários têm \(a = 0\).
Exemplo
\(z = 3 + 4i\)
\(\text{Re}(z) = 3\)
\(\text{Im}(z) = 4\)
\(z = -2 - 5i\)
\(\text{Re}(z) = -2\)
\(\text{Im}(z) = -5\)
Graf
Plano de Argand-Gauss
Representação geométrica dos números complexos
Um número complexo \(z = a + bi\) é representado pelo ponto \((a, b)\)
no plano complexo: o eixo horizontal é o eixo real
e o eixo vertical é o eixo imaginário.
Eixo real (horizontal)
Representa a parte real \(a\) do número complexo.
Números reais ficam sobre esse eixo.
Eixo imaginário (vertical)
Representa a parte imaginária \(b\) do número complexo.
Números puramente imaginários ficam sobre esse eixo.
Trig
Forma Trigonométrica
Representação polar de um número complexo
Todo número complexo \(z = a + bi\) pode ser escrito na forma trigonométrica
(ou polar) usando seu módulo \(r = |z|\) e seu argumento \(\theta\)
(ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo):
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
As relações entre as formas algébrica e trigonométrica são:
Módulo e argumento
\(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (ajustar quadrante)
\(a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta\)
Produto na forma polar
Se \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\) e \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\):
\(z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2\bigl(\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr)\)
Módulos se multiplicam; argumentos se somam.
Exemplo — converter para forma trigonométrica
Escreva \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\) na forma trigonométrica.
\(r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2\)
\(\tan\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60° = \dfrac{\pi}{3}\)
\(z = 2\!\left(\cos 60° + i\sin 60°\right)\)
Moi
Fórmula de De Moivre
Potenciação de complexos na forma polar
Para qualquer número complexo na forma trigonométrica e \(n \in \mathbb{Z}\):
\(\bigl[r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
A fórmula de De Moivre permite calcular potências e raízes de números complexos de forma eficiente, sem expandir produtos sucessivos.
Exemplos
Calcule \(\left(\cos 30° + i\sin 30°\right)^6\).
\(r = 1\), \(n = 6\), \(\theta = 30°\)
\(= \cos(6 \cdot 30°) + i\sin(6 \cdot 30°)\)
\(= \cos 180° + i\sin 180°\)
\(= -1 + 0i = -1\)
Calcule \((1+i)^8\).
\(r = \sqrt{2}\), \(\theta = 45°\)
\((1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\!\left(\cos 360° + i\sin 360°\right)\)
\(= 16 \cdot (1 + 0i)\)
\(= 16\)
Op
Operações
Soma, subtração e multiplicação
Soma e subtração: operam-se as partes reais entre si
e as partes imaginárias entre si.
\((a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)\,i\)
Multiplicação: usa-se a distributiva e \(i^2 = -1\).
\((a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i\)
Exemplos
\((3+4i) + (1+2i)\)
\(= (3+1) + (4+2)i\)
\(= 4 + 6i\)
\((5+3i) - (2+7i)\)
\(= (5-2) + (3-7)i\)
\(= 3 - 4i\)
\((3+4i) \cdot (1+2i)\)
\(= 3 + 6i + 4i + 8i^2\)
\(= 3 + 10i + 8(-1)\)
\(= -5 + 10i\)
z̄
Conjugado
Troca do sinal da parte imaginária
O conjugado de \(z = a + bi\) é \(\bar{z} = a - bi\).
O produto de \(z\) pelo seu conjugado é sempre real:
\(z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2\)
Igualdade de complexos:
\(a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c\) e \(b = d\).
Dois complexos são iguais se e somente se têm partes reais iguais
e partes imaginárias iguais.
Propriedades do conjugado:
\(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2\);
\(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2\);
\(\overline{(\bar{z})} = z\).
Exemplo
\(z = 3 + 4i \;\Rightarrow\; \bar{z} = 3 - 4i\)
\(z \cdot \bar{z} = (3+4i)(3-4i) = 9 - 16i^2 = 9 + 16\)
\(z \cdot \bar{z} = 25 = |z|^2\) ✓
÷
Divisão
Técnica do conjugado do denominador
Para dividir \(z_1\) por \(z_2\), multiplica-se numerador e denominador
pelo conjugado \(\bar{z}_2\), tornando o denominador real:
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2} = \dfrac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{|z_2|^2}\)
Exemplo
\(\dfrac{3+4i}{1+2i} = \dfrac{(3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\)
Numerador: \((3+4i)(1-2i) = 3-6i+4i-8i^2 = 3-2i+8 = 11-2i\)
Denominador: \((1+2i)(1-2i) = 1+4 = 5\)
\(\dfrac{3+4i}{1+2i} = \dfrac{11-2i}{5} = \dfrac{11}{5} - \dfrac{2}{5}i\)
|z|
Módulo
Distância à origem no plano complexo
O módulo de \(z = a + bi\) é a distância do ponto \((a,b)\) à origem:
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
O módulo é sempre um número real não-negativo. Geometricamente, é o comprimento do vetor que representa \(z\) no plano complexo.
Exemplos
\(z = 3 + 4i\)
\(|z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)
\(|z| = 5\)
\(z = -1 + \sqrt{3}\,i\)
\(|z| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4}\)
\(|z| = 2\)
iⁿ
Potências de i
Ciclo de período 4
As potências de \(i\) se repetem em ciclo de período 4:
\(i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i, \ldots\)
Para calcular \(i^n\): divida \(n\) por \(4\) e use o resto:
Resto 0 → \(i^n = 1\)
Resto 1 → \(i^n = i\)
Resto 2 → \(i^n = -1\)
Resto 3 → \(i^n = -i\)
Calcule \(i^{23}\).
\(23 = 4 \times 5 + 3\) → resto \(3\)
\(i^{23} = -i\)
Atenção para expoentes negativos:
\(i^{-1} = \dfrac{1}{i} = \dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i\).
Para negativos, some múltiplos de 4 até tornar o expoente positivo.
