Pratique Já

Def

Definição

Operação inversa da potenciação

Radiciação é a operação inversa à potenciação: determinar o número que, elevado ao índice \(n\), resulta no radicando \(a\). \(a\) é o radicando e \(n\) é o índice.

\[\sqrt[n]{a} = b \;\Leftrightarrow\; a = b^n\]

Se o índice não for informado, usa-se \(n = 2\) (raiz quadrada). Quando \(n\) é par, exige-se \(a \geq 0\).

Índice 2 = raiz quadrada

Índice 3 = raiz cúbica

\(\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4\)

\(\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3\)

Raízes de números que não são quadrados perfeitos são números irracionais — não podem ser escritos como fração e sua representação decimal é infinita e não periódica.

\(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\) (irracional)

\(\sqrt{3} \approx 1{,}7320\ldots\) (irracional)

\(\sqrt{4} = 2\) (racional)

Raiz como potência fracionária

\[\sqrt[n]{a} = a^{\,\frac{1}{n}}\]

\(\sqrt{16} = 16^{\frac{1}{2}} = (2^4)^{\frac{1}{2}} = 2^2\) \(= 4\)

\(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1\) \(= 2\)

Fat

Resolvendo Números Grandes

Decomposição em fatores primos

Decomponha o radicando em fatores primos, agrupe em potências com expoente igual ao índice da raiz e remova cada grupo com a raiz.

Exemplo — \(\sqrt{576}\)

576	2
288	2
144	2
72	2
36	2
18	2
9	3
3	3
1	\(2^2\!\cdot\!2^2\!\cdot\!2^2\!\cdot\!3^2\)

\(\sqrt{576} = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}\) \(= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) \(= 24\)

\(\sqrt{900} = \sqrt{(2\cdot3\cdot5)^2} = 30\)

\(\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6\)

Sim

Simplificação de Radicais

Extraindo fatores perfeitos de dentro da raiz

Identifique o maior fator quadrado perfeito (ou cúbico perfeito) contido no radicando, separe-o usando a propriedade do produto e retire-o da raiz. Resultado: parte fora da raiz · parte irredutível dentro da raiz.

Método — raiz quadrada

\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3}\) \(= 4\sqrt{3}\)

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3}\) \(= 5\sqrt{3}\)

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}\) \(= 6\sqrt{2}\)

\(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2}\) \(= 10\sqrt{2}\)

Método — raiz cúbica

\(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2}\) \(= 3\sqrt[3]{2}\)

\(\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2}\) \(= 5\sqrt[3]{2}\)

Com expressões algébricas

\(\sqrt{4x^2} = 2|x|\)

\(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\)

\(\sqrt{9x^4} = 3x^2\)

±

Adição e Subtração de Radicais

Radicais semelhantes — mesmo índice e mesmo radicando

Só é possível somar ou subtrair radicais que tenham mesmo índice e mesmo radicando (radicais semelhantes). Quando os radicandos diferem, simplifique primeiro e verifique se tornam semelhantes.

Radicais já semelhantes

\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)

\(7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)

\(4\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}\)

Simplificar para obter radicais semelhantes

\(\sqrt{12} + \sqrt{27}\) \(= \sqrt{4\cdot3} + \sqrt{9\cdot3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\) \(= 5\sqrt{3}\)

\(2\sqrt{50} - \sqrt{8}\) \(= 2\sqrt{25\cdot2} - \sqrt{4\cdot2} = 10\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\) \(= 8\sqrt{2}\)

\(\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{5}\) \(= 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - \sqrt{5}\) \(= 4\sqrt{5}\)

Radicais não semelhantes — não se simplificam

\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) (não simplifica)

\(\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}\) (índices diferentes)

P¹²³

Propriedades 1ª a 3ª

Cancelamento, produto e quociente de raízes

1ª — Raiz cancela potência de mesmo índice

\[\sqrt[n]{a^n} = a \qquad (a \geq 0 \text{ se } n \text{ par})\]

\(\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2\)

\(\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3\)

\(\sqrt{x^2} = |x|\)

2ª — Produto de raízes de mesmo índice

\[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\]

\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{36}\) \(= 6\)

\(\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2|x|\)

\(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8}\) \(= 2\)

3ª — Quociente de raízes de mesmo índice

\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \qquad (b \neq 0)\]

\(\dfrac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\dfrac{108}{12}} = \sqrt{9}\) \(= 3\)

\(\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}} = \dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}} = \dfrac{a}{b}\) \((a, b \geq 0)\)

P⁴⁵

Propriedades 4ª e 5ª

Amplificação, simplificação e raiz de raiz

4ª — Amplificação / Simplificação de radicais

Multiplica-se (ou divide-se) o índice e o expoente do radicando pelo mesmo número \(c \neq 0\) sem alterar o valor da expressão.

\[\sqrt[n]{a^b} = \sqrt[n\cdot c]{a^{\,b\cdot c}}\]

Amplificação (×2): \(\sqrt{3} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt[4]{9}\)

Simplificação (÷3): \(\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{4^3}\) índice \(6 \div 3 = 2\); expoente \(3 \div 3 = 1\) \(= \sqrt[2]{4^1} = \sqrt{4}\) \(= 2\)

\(\sqrt{8} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{8^2} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{256}\) \(= 4\)

5ª — Raiz de raiz

Uma raiz dentro de outra se simplifica multiplicando os índices.

\[\sqrt[n]{\sqrt[b]{a}} = \sqrt[n \cdot b]{a}\]

\(\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[2\cdot2]{81} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4}\) \(= 3\)

\(\sqrt{\sqrt{8}} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{16}\) \(= 2\)

Rac

Racionalização de Denominador

Eliminando radicais do denominador de frações

Processo de eliminar radicais do denominador sem alterar o valor da fração. Multiplica-se numerador e denominador pelo fator que completa uma potência perfeita no denominador. Quando há \(a \pm \sqrt{b}\), usa-se o conjugado, pois \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) elimina a raiz.

Tipo 1 — denominador \(\sqrt{a}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2}\) \(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) \(= \dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

Tipo 2 — denominador com conjugado \((a \pm \sqrt{b})\)

Usa-se \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) para eliminar a raiz:

\(\dfrac{5}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}\) \(= \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}\) \(= \dfrac{5\sqrt{3}-5}{2}\)

\(\dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\) \(= \dfrac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5 - 2}\) \(= \sqrt{5}-\sqrt{2}\)

Tipo 3 — denominador com raiz cúbica \(\sqrt[3]{a}\)

Multiplica-se por \(\sqrt[3]{a^2}\) para completar \(\sqrt[3]{a^3} = a\) no denominador:

\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2^3}}\) \(= \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\)

\(\dfrac{6}{\sqrt[3]{3}} = \dfrac{6}{\sqrt[3]{3}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = \dfrac{6\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}}\) \(= \dfrac{6\sqrt[3]{9}}{3} = 2\sqrt[3]{9}\)

Ref

Principais Raízes

Tabela de referência — quadradas e cúbicas

Raízes Quadradas				Raízes Cúbicas
\(\sqrt{0}=0\)	\(\sqrt{100}=10\)	\(\sqrt{400}=20\)	\(\sqrt{900}=30\)	\(\sqrt[3]{0}=0\)	\(\sqrt[3]{1000}=10\)
\(\sqrt{1}=1\)	\(\sqrt{121}=11\)	\(\sqrt{441}=21\)	\(\sqrt{961}=31\)	\(\sqrt[3]{1}=1\)	\(\sqrt[3]{1331}=11\)
\(\sqrt{4}=2\)	\(\sqrt{144}=12\)	\(\sqrt{484}=22\)	\(\sqrt{1024}=32\)	\(\sqrt[3]{8}=2\)	\(\sqrt[3]{1728}=12\)
\(\sqrt{9}=3\)	\(\sqrt{169}=13\)	\(\sqrt{529}=23\)	\(\sqrt{1089}=33\)	\(\sqrt[3]{27}=3\)	\(\sqrt[3]{2197}=13\)
\(\sqrt{16}=4\)	\(\sqrt{196}=14\)	\(\sqrt{576}=24\)	\(\sqrt{1156}=34\)	\(\sqrt[3]{64}=4\)	\(\sqrt[3]{2744}=14\)
\(\sqrt{25}=5\)	\(\sqrt{225}=15\)	\(\sqrt{625}=25\)	\(\sqrt{1225}=35\)	\(\sqrt[3]{125}=5\)	\(\sqrt[3]{3375}=15\)
\(\sqrt{36}=6\)	\(\sqrt{256}=16\)	\(\sqrt{676}=26\)	\(\sqrt{1296}=36\)	\(\sqrt[3]{216}=6\)	\(\sqrt[3]{4096}=16\)
\(\sqrt{49}=7\)	\(\sqrt{289}=17\)	\(\sqrt{729}=27\)	\(\sqrt{1369}=37\)	\(\sqrt[3]{343}=7\)	\(\sqrt[3]{4913}=17\)
\(\sqrt{64}=8\)	\(\sqrt{324}=18\)	\(\sqrt{784}=28\)	\(\sqrt{1444}=38\)	\(\sqrt[3]{512}=8\)	\(\sqrt[3]{5832}=18\)
\(\sqrt{81}=9\)	\(\sqrt{361}=19\)	\(\sqrt{841}=29\)	\(\sqrt{1521}=39\)	\(\sqrt[3]{729}=9\)	\(\sqrt[3]{6859}=19\)

Radiciação