Avançado
Logaritmo
Aprenda logaritmos como inverso da exponenciação: logₐb = c ↔ aᶜ = b. Estude propriedades do produto, quociente e potência, logaritmo natural e decimal, e resolva equações e inequações logarítmicas.
Exercícios
60
Questões
71
PDF's
6
Teoria
Exercícios
Questões
PDFs
Def
Definição
Relação entre logaritmo e potenciação
O logaritmo de \(a\) na base \(b\) é o expoente \(x\) ao qual \(b\) deve
ser elevada para produzir \(a\). \(b\) é a base,
\(a\) é o logaritmando e \(x\) é o logaritmo.
\[\log_b a = x \;\iff\; a = b^x\]
Condições de existência: \(b > 0,\; b \neq 1\) e \(a > 0\). Não existe logaritmo de número negativo ou zero, nem com base 1.
Exemplos
\(\log_2 8 \Rightarrow 8 = 2^x \Rightarrow 2^3 = 2^x\)
\(\Rightarrow x = 3\)
\(\log_3 81 \Rightarrow 81 = 3^x \Rightarrow 3^4 = 3^x\)
\(\Rightarrow x = 4\)
\(\log_5 25 \Rightarrow 25 = 5^x \Rightarrow 5^2 = 5^x\)
\(\Rightarrow x = 2\)
Tipos comuns
Log. natural \((\ln)\): base \(\mathrm{e} \approx 2{,}718\).
Notação: \(\ln a = \log_e a\).
Log. decimal \((\log)\): base \(10\).
Notação: \(\log a = \log_{10} a\).
Comportamento da função
\(b > 1\) → função crescente
(\(\log_2\), \(\log_{10}\), \(\ln\))
\(0 < b < 1\) → função decrescente
(\(\log_{1/2}\))
★
Logaritmos Especiais
Resultados imediatos que simplificam cálculos
Três resultados decorrem diretamente da definição e devem ser memorizados —
eles aparecem em quase toda simplificação de expressões logarítmicas.
\(\log_b 1 = 0\)
pois \(b^0 = 1\) para qualquer \(b\)
\(\log_2 1 = 0 \quad \log_{10} 1 = 0\)
\(\log_b b = 1\)
pois \(b^1 = b\)
\(\log_2 2 = 1 \quad \log_{10} 10 = 1\)
\(\log_b b^n = n\)
pois \(b^n = b^n\) — logaritmo cancela a potência de mesma base
\(\log_2 2^5 = 5 \quad \log_{10} 10^3 = 3\)
\(b^{\log_b a} = a\)
potenciação e logaritmo de mesma base se cancelam
\(2^{\log_2 7} = 7 \quad 10^{\log 5} = 5\)
MB
Mudança de Base
Reescrevendo logaritmos em qualquer base
Qualquer logaritmo pode ser expresso como a razão entre dois logaritmos
de uma mesma base auxiliar \(c\). Essencial para usar calculadoras,
que só possuem \(\log\) e \(\ln\).
\[\log_b a = \dfrac{\log_c a}{\log_c b}\]
Exemplos
\(\log_8 16 = \dfrac{\log_2 16}{\log_2 8} = \dfrac{4}{3}\)
base auxiliar 2
\(\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx \dfrac{0{,}699}{0{,}301}\)
\(\approx 2{,}322\)
Consequências úteis
\(\log_b a \cdot \log_a b = 1\)
\(\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}\)
P·Q
Propriedades — Produto e Quociente
Logaritmo transforma × em + e ÷ em −
Produto — soma dos logaritmos
\[\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)\]
Converte multiplicação em adição — foi a base histórica das tábuas de logaritmos para facilitar cálculos antes da era digital.
\(\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36\)
\(= 2\)
\(\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32\)
\(= 5\)
Quociente — diferença dos logaritmos
\[\log_b a - \log_b c = \log_b \!\left(\frac{a}{c}\right)\]
\(\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \!\left(\dfrac{54}{2}\right) = \log_3 27\)
\(= 3\)
\(\log_{10} 500 - \log_{10} 5 = \log_{10} 100\)
\(= 2\)
Exp
Propriedades — Potência e Base Potência
Movendo expoentes dentro e fora do logaritmo
Potência — expoente desce como fator
\[c \cdot \log_b a = \log_b (a^c)\]
Permite mover expoentes para fora do logaritmo — essencial para resolver equações exponenciais.
\(\log_2 8^3 = 3 \cdot \log_2 8 = 3 \cdot 3\)
\(= 9\)
\(2 \cdot \log_2 \sqrt{8} = \log_2 (\sqrt{8})^2 = \log_2 8\)
\(= 3\)
Base potência — divide pelo expoente da base
\[\log_{b^c} a = \dfrac{1}{c} \cdot \log_b a\]
Simplifica logaritmos com bases compostas.
\(\log_4 8 = \log_{2^2} 8 = \dfrac{1}{2} \cdot \log_2 8 = \dfrac{1}{2} \cdot 3\)
\(= \dfrac{3}{2}\)
\(\log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \dfrac{1}{2} \cdot 3\)
\(= \dfrac{3}{2}\)
Eq
Equações Logarítmicas
Resolvendo equações com incógnita no logaritmando
Estratégia: isolar o logaritmo e converter para forma exponencial,
ou usar as propriedades para unir termos antes de converter.
Sempre verificar se a solução satisfaz as condições de existência.
Tipo 1 — logaritmo isolado
\(\log_2 x = 3\)
\(x = 2^3\)
\(x = 8\)
\(\log_5 x = -2\)
\(x = 5^{-2}\)
\(x = \dfrac{1}{25}\)
Tipo 2 — usando propriedades para simplificar
\(\log_2 x + \log_2 4 = 5\)
\(\log_2 (4x) = 5\)
\(4x = 2^5 = 32\)
\(x = 8\)
\(\log_3 x - \log_3 2 = 2\)
\(\log_3 \!\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2\)
\(\dfrac{x}{2} = 3^2 = 9\)
\(x = 18\)
Exercício combinando propriedades
Simplifique: \(\log_2 4 + \log_2 8 - \log_2 2\)
\(= \log_2 (4 \cdot 8) - \log_2 2 = \log_2 \!\left(\dfrac{32}{2}\right)\)
\(= \log_2 16\)
\(= 4\)
Apl
Aplicações Práticas
Logaritmos no mundo real — escalas científicas
Logaritmos modelam fenômenos onde a grandeza cresce em ordens de
magnitude — cada unidade na escala representa uma multiplicação,
não uma adição.
Escala Richter (sismos)
\(M = \log\!\left(\dfrac{A}{A_0}\right)\)
Um sismo de magnitude 7 é 10× mais intenso que um de magnitude 6.
pH (química)
\(\text{pH} = -\log[\text{H}^+]\)
\(\text{pH} = 7 \Rightarrow [\text{H}^+] = 10^{-7}\) mol/L
Decibéis (acústica)
\(\text{dB} = 10 \cdot \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\)
Duplicar a intensidade sonora acrescenta apenas ~3 dB.
