Avançado
Função Logaritmica
Explore funções logarítmicas f(x) = logₐx como inversas das exponenciais. Analise domínio, imagem, gráfico e comportamento. Resolva equações e inequações e aplique em escala de pH, decibéis e sismologia.
Exercícios
59
Questões
18
PDF's
6
Teoria
Exercícios
Questões
PDFs
Def
Definição
f(x) = log_a(x) como função
A função logarítmica de base \(a\) é definida por \(f(x) = \log_a x\),
onde \(a > 0\), \(a \neq 1\) e \(x > 0\).
O domínio é \((0, +\infty)\) e a imagem é
\(\mathbb{R}\) (assume qualquer valor real).
A restrição \(x > 0\) surge diretamente da definição de logaritmo: não existe logaritmo de zero ou de número negativo. O valor \(x = 1\) é especial porque \(\log_a 1 = 0\) para qualquer base — portanto o gráfico sempre cruza o eixo \(x\) no ponto \((1, 0)\).
Exemplos de imagem
\(f(x) = \log_2 x\)
\(f(1) = 0\) \(f(2) = 1\) \(f(4) = 2\)
\(f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -1\) \(f\!\left(\tfrac{1}{4}\right) = -2\)
\(f(x) = \log_{10} x\) (log decimal)
\(f(1) = 0\) \(f(10) = 1\) \(f(100) = 2\)
\(f(0{,}1) = -1\) \(f(0{,}01) = -2\)
As operações e propriedades dos logaritmos (produto, quociente, potência, mudança
de base) estão em Logaritmo. Este assunto foca na função
como objeto de análise (gráfico, domínio, imagem, crescimento).
Graf
Gráfico
Assíntota vertical, zero e crescimento
O gráfico de \(f(x) = \log_a x\) tem o eixo \(y\) como assíntota vertical
(\(x = 0\)) — a curva se aproxima da reta \(x = 0\) mas nunca a alcança.
O comportamento de crescimento depende da base \(a\):
se \(a > 1\), a função é crescente;
se \(0 < a < 1\), a função é decrescente.
Em ambos os casos a curva passa por \((1, 0)\).
\(a > 1\) → crescente
Valores de \(x\) entre 0 e 1 → \(f(x) < 0\)
\(x = 1\) → \(f(x) = 0\) (zero da função)
\(x > 1\) → \(f(x) > 0\)
\(0 < a < 1\) → decrescente
Valores de \(x\) entre 0 e 1 → \(f(x) > 0\)
\(x = 1\) → \(f(x) = 0\) (zero da função)
\(x > 1\) → \(f(x) < 0\)
f⁻¹
Inversa da Função Exponencial
Logarítmica e exponencial são funções inversas
A função logarítmica \(f(x) = \log_a x\) é a inversa da função
exponencial \(g(x) = a^x\). Isso significa que uma desfaz o que a outra faz:
\[
g(f(x)) = a^{\log_a x} = x \qquad \text{e} \qquad f(g(x)) = \log_a(a^x) = x
\]
Geometricamente, os gráficos de \(f(x) = \log_a x\) e \(g(x) = a^x\) são simétricos em relação à reta \(y = x\) — se você dobrar o papel na diagonal, as duas curvas se sobrepõem.
Ponto \((3, 8)\) pertence a \(g(x) = 2^x\) pois \(2^3 = 8\).
Ponto \((8, 3)\) pertence a \(f(x) = \log_2 x\) pois \(\log_2 8 = 3\).
As coordenadas se invertem — reflexão em \(y = x\).
Domínio de \(g(x) = a^x\): \(\mathbb{R}\) → Imagem: \((0,+\infty)\)
Domínio de \(f(x) = \log_a x\): \((0,+\infty)\) → Imagem: \(\mathbb{R}\)
Domínio e imagem se invertem — propriedade geral das funções inversas.
±
Análise da Função
Domínio, imagem, crescimento e sinal
Para \(f(x) = \log_a x\) com \(a > 1\):
Domínio
\(D = (0, +\infty)\)
Apenas valores positivos de \(x\) têm logaritmo real.
Imagem
\(Im = \mathbb{R}\)
A função assume qualquer valor real.
Zero da função
\(\log_a x = 0 \;\Rightarrow\; x = a^0 = 1\)
Zero em \(x = 1\) para qualquer base.
Sinal (para \(a > 1\))
\(f(x) < 0\) para \(0 < x < 1\)
\(f(x) = 0\) para \(x = 1\)
\(f(x) > 0\) para \(x > 1\)
Exemplo de aplicação
Para quais valores de \(x\) temos \(\log_3 x \geq 2\)?
Como \(a = 3 > 1\) a função é crescente: \(\log_3 x \geq \log_3 3^2\)
Logo \(x \geq 3^2\)
\(x \geq 9\), lembrando que \(x > 0\) → solução: \(x \in [9, +\infty)\)
Atenção ao sentido da desigualdade:
com \(a > 1\) (crescente), o sentido se mantém;
com \(0 < a < 1\) (decrescente), o sentido inverte.
