As leis dos senos e dos cossenos permitem resolver triângulos
não retângulos — calculando lados e ângulos quando
o Teorema de Pitágoras não pode ser utilizado.
Em qualquer triângulo ABC, adotamos a convenção:
o lado a é oposto ao ângulo A,
o lado b é oposto ao ângulo B e
o lado c é oposto ao ângulo C.
Propriedade fundamental: a soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo é \(A + B + C = 180°\). Após encontrar dois ângulos, o terceiro é
imediato: \(C = 180° - A - B\).
| Caso |
Dados conhecidos |
Lei a usar |
| AAS / ASA |
2 ângulos + 1 lado |
Lei dos Senos |
| SSA |
2 lados + ângulo oposto a um deles |
Lei dos Senos (atenção: caso ambíguo) |
| LAL |
2 lados + ângulo entre eles |
Lei dos Cossenos |
| LLL |
3 lados conhecidos |
Lei dos Cossenos (forma inversa) |
Estratégia de resolução completa: após aplicar a lei adequada e encontrar
um elemento, use \(A + B + C = 180°\) e a Lei dos Senos para completar os elementos restantes.
Em qualquer triângulo ABC, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante:
\(\dfrac{a}{\text{sen}\, A} = \dfrac{b}{\text{sen}\, B} = \dfrac{c}{\text{sen}\, C} = 2R\)
onde \(R\) é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Exemplo — resolução completa (caso AAS)
Dados \(a = 7\), \(b = 10\) e \(A = 30°\). Resolver o triângulo completamente:
Passo 1 — encontrar B
\(\dfrac{7}{\text{sen}\, 30°} = \dfrac{10}{\text{sen}\, B}\)
\(\text{sen}\, B = \dfrac{10 \cdot \text{sen}\, 30°}{7} = \dfrac{10 \cdot \frac{1}{2}}{7} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7143\)
\(B \approx \mathbf{45{,}57°}\)
Passo 2 — encontrar C
\(C = 180° - 30° - 45{,}57° = \mathbf{104{,}43°}\)
Passo 3 — encontrar c
\(\dfrac{7}{\text{sen}\, 30°} = \dfrac{c}{\text{sen}\, 104{,}43°}\)
\(c = \dfrac{7 \cdot \text{sen}\, 104{,}43°}{\text{sen}\, 30°} = \dfrac{7 \cdot 0{,}9686}{0{,}5} \approx \mathbf{13{,}56}\)
Caso ambíguo (SSA): quando se conhecem dois lados e um ângulo oposto a um deles,
podem existir 0, 1 ou 2 triângulos válidos. Sempre verifique se
\(\text{sen}\, B \leq 1\) e considere a possibilidade de \(B' = 180° - B\)
quando \(B\) é agudo e \(a \lt b\).
A Lei dos Cossenos relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos:
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\)
Forma inversa — encontrar ângulo (caso LLL)
\(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)
Caso especial: quando \(A = 90°\), temos \(\cos 90° = 0\) e a Lei dos Cossenos
se reduz ao Teorema de Pitágoras: \(a^2 = b^2 + c^2\).
Exemplo 1 — encontrar lado a (caso LAL)
Dados \(b = 12\), \(c = 9\) e \(A = 60°\):
\(a^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos 60°\)
\(a^2 = 144 + 81 - 216 \cdot \dfrac{1}{2} = 225 - 108 = 117\)
\(a = \sqrt{117} \approx \mathbf{10{,}82}\)
Para completar o triângulo, use a Lei dos Senos com o valor encontrado de \(a\):
\(\text{sen}\, B = \dfrac{b \cdot \text{sen}\, A}{a} = \dfrac{12 \cdot \text{sen}\, 60°}{10{,}82} \approx \dfrac{10{,}39}{10{,}82} \approx 0{,}960\)
\(B \approx 73{,}78° \quad \Rightarrow \quad C = 180° - 60° - 73{,}78° \approx \mathbf{46{,}22°}\)
Exemplo 2 — encontrar ângulo A (caso LLL)
Dados \(a = 8\), \(b = 6\) e \(c = 7\). Encontrar o maior ângulo primeiro (oposto ao maior lado \(a\)):
\(\cos A = \dfrac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \dfrac{36 + 49 - 64}{84} = \dfrac{21}{84} = \dfrac{1}{4}\)
\(A = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{75{,}52°}\)
Em seguida, use a Lei dos Senos para os demais ângulos:
\(\text{sen}\, B = \dfrac{6 \cdot \text{sen}\, 75{,}52°}{8} \approx \dfrac{6 \cdot 0{,}9682}{8} \approx 0{,}726 \Rightarrow B \approx \mathbf{46{,}57°}\)
\(C = 180° - 75{,}52° - 46{,}57° \approx \mathbf{57{,}91°}\)
No caso LLL, sempre resolva o maior ângulo primeiro (oposto ao maior lado)
para evitar o caso ambíguo ao aplicar a Lei dos Senos nos ângulos restantes —
o maior ângulo nunca pode ter um segundo valor válido.
