Intermediário
Equações 2º Grau
Resolva equações do 2º grau pela fórmula de Bhaskara. Analise o discriminante Δ para determinar a natureza das raízes, estude equações incompletas, relações de Vieta e problemas de área e otimização.
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Def
Definição
O que é uma equação do 2º grau?
Uma equação do 2º grau (ou equação quadrática) é toda equação que pode ser
escrita na forma \(ax^2 + bx + c = 0\), onde \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\).
O valor de \(a\) é o coeficiente do termo quadrático, \(b\) é o coeficiente do termo linear e \(c\) é o termo independente.
As raízes (ou soluções) da equação são os valores de \(x\) que tornam a igualdade verdadeira. Uma equação do 2º grau tem no máximo duas raízes reais.
O estudo do gráfico, do vértice e do comportamento de
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) como função está no assunto
Função Quadrática. Aqui focamos em encontrar as raízes.
Exemplo
Equação: \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)
É uma equação completa pois \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) e \(c \neq 0\).
Δ
Fórmula de Bhaskara
Cálculo das raízes pelo discriminante
As raízes da equação de 2º grau são calculadas pela Fórmula de Bhaskara,
que usa o discriminante \(\Delta\) (delta):
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Natureza das raízes:
se \(\Delta > 0\) → duas raízes reais distintas (\(x_1 \neq x_2\));
se \(\Delta = 0\) → uma raiz real repetida (\(x_1 = x_2\));
se \(\Delta < 0\) → nenhuma raiz real (raízes complexas).
Exemplo — resolução completa
Encontre as raízes de \(2x^2 - 7x + 3 = 0\). Temos \(a=2\), \(b=-7\), \(c=3\).
Passo 1 — Calcular \(\Delta\):
\(\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\)
Passo 2 — Aplicar Bhaskara:
\(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)
\(x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)
\(x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
\(\Delta = 25 > 0\) → duas raízes reais distintas: \(x_1 = 3\) e \(x_2 = \frac{1}{2}\).
Esp
Equações Incompletas
Casos especiais com b = 0 ou c = 0
Quando \(b = 0\) ou \(c = 0\), existem atalhos mais rápidos do que Bhaskara.
Caso \(b = 0\): \(ax^2 + c = 0\)
Isola \(x^2\) diretamente: \(x^2 = -\dfrac{c}{a}\)
\(x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\) (se \(-c/a \geq 0\))
Exemplo: \(2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \)
\( \Rightarrow x = \pm 2\)
Caso \(c = 0\): \(ax^2 + bx = 0\)
Fatore \(x\) em evidência: \(x(ax + b) = 0\)
\(x_1 = 0 \quad\text{ou}\quad x_2 = -\dfrac{b}{a}\)
Exemplo: \(3x^2 - 6x = 0 \)
\(\Rightarrow\; x(3x-6)=0 \)
\(\Rightarrow\; x_1=0,\; x_2=2\)
Propriedade útil: o coeficiente \(c\) é sempre o valor da função
em \(x = 0\): \(f(0) = c\).
S/P
Relações de Vieta
Soma e produto das raízes
Conhecidas as raízes \(x_1\) e \(x_2\), valem as seguintes relações sem
necessidade de calcular Bhaskara individualmente:
\(x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} \qquad\qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\)
Exemplo
Para \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) com \(x_1=3\) e \(x_2=\frac{1}{2}\):
Soma: \(3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = \dfrac{-(-7)}{2} = \dfrac{-b}{a}\) ✓
Produto: \(3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{c}{a}\) ✓
Construa uma equação com raízes \(x_1 = 2\) e \(x_2 = 5\).
Soma \(= 7\), Produto \(= 10\)
\(x^2 - 7x + 10 = 0\)
Forma geral: \(x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2 = 0\).
Forma fatorada: se \(\Delta \geq 0\), a equação pode ser escrita como
\(a(x - x_1)(x - x_2) = 0\).
Prob
Problemas Contextualizados
Aplicação da equação do 2º grau em situações reais
Estratégia: (1) identificar os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\);
(2) calcular \(\Delta\); (3) aplicar Bhaskara; (4) interpretar as raízes no contexto.
Problema 1 — Área de um retângulo
Um retângulo tem comprimento \(3\) cm maior que sua largura. Área = \(40\) cm². Quais são as dimensões?
Largura \(= x\), comprimento \(= x + 3\). Área: \(x(x+3) = 40\)
\(x^2 + 3x - 40 = 0\) → \(\Delta = 9 + 160 = 169\)
\(x = \dfrac{-3 \pm 13}{2}\) → \(x_1 = 5\) (válido) e \(x_2 = -8\) (descartado)
Largura \(= 5\) cm, comprimento \(= 8\) cm.
Problema 2 — Produto de consecutivos
O produto de dois números inteiros consecutivos é 182. Quais são eles?
\(n(n+1) = 182 \;\Rightarrow\; n^2 + n - 182 = 0\)
\(\Delta = 1 + 728 = 729 = 27^2\)
\(n = \dfrac{-1 + 27}{2} = 13\) (tomamos o positivo)
Os números são 13 e 14.
