MMC e MDC
Calcule o Mínimo Múltiplo Comum e o Máximo Divisor Comum usando fatoração em primos. Resolva problemas de sincronização de eventos, divisão em grupos iguais e simplificação de frações com eficiência.
Dizemos que \(a\) é múltiplo de \(b\) quando existe um inteiro \(q\) tal que \(a = b \cdot q\). Por exemplo: 10 é múltiplo de 5 pois \(10 = 5 \cdot 2\); 18 é múltiplo de 6 pois \(18 = 6 \cdot 3\).
Diferente do MDC, no MMC todos os fatores das colunas à direita entram no produto final — mesmo os que não dividiram todos os números ao mesmo tempo.
Pré-requisito: o método usa decomposição em fatores primos — revise no assunto Números Primos se necessário.
Exemplo — MMC de 12 e 18
Quando um número não é divisível pelo fator escolhido, ele é carregado para a próxima linha sem alteração:
| 12, 18 | 2 |
| 6, 9 | 2 (9 carregado) |
| 3, 9 | 3 |
| 1, 3 | 3 (1 carregado) |
| 1, 1 | \(2^2 \cdot 3^2\) |
Exemplo — MMC de 90, 30 e 25
| 90, 30, 25 | 2 |
| 45, 15, 25 | 3 |
| 15, 5, 25 | 3 |
| 5, 5, 25 | 5 |
| 1, 1, 5 | 5 |
| 1, 1, 1 | \(2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\) |
Esta é a principal diferença em relação ao MMC: no MDC o fator só é aproveitado se dividir todos os números daquela linha. As linhas destacadas nas tabelas abaixo são exatamente essas.
Exemplo — MDC de 32 e 24
Dividimos apenas enquanto o fator escolhido divide os dois números. Quando isso deixa de ser possível, paramos:
| 32, 24 | 2 |
| 16, 12 | 2 |
| 8, 6 | 2 |
| 4, 3 | \(2^3\) |
4 e 3 não compartilham nenhum fator primo comum — paramos aqui.
Exemplo — MDC de 120, 30 e 45
Note que 45 é ímpar, então nenhuma das divisões por 2 divide os três ao mesmo tempo — começamos pelo 3:
| 120, 30, 45 | 3 |
| 40, 10, 15 | 5 |
| 8, 2, 3 | \(3 \cdot 5\) |
8, 2 e 3 não têm fator primo em comum — paramos aqui.
Verificação com 12 e 18
Caso especial: divisibilidade direta
Ex: MDC(5, 30) = 5 e MMC(5, 30) = 30
Problema — encontro de ônibus
Dois ônibus partem juntos de um terminal. O primeiro passa a cada 12 minutos e o segundo a cada 18 minutos. Após quantos minutos eles voltarão a partir juntos?
Problema — divisão em grupos
Uma professora quer dividir 32 meninos e 24 meninas em grupos de mesmo tamanho, sem misturar. Qual o maior número de alunos por grupo?
