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Divisibilidade

Domine os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11. Determine rapidamente se um número é divisível por outro sem realizar a divisão completa, com aplicação direta em fatoração e MMC/MDC.
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Divisibilidade
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Def
Definição
O que é divisibilidade?
Um número é divisível por um determinado divisor se e somente se o resto da divisão for igual a zero.

Dizemos que \(a\) é divisível por \(b\) quando existe um inteiro \(q\) tal que \(a = b \cdot q\). Nesse caso, \(b\) é chamado de divisor de \(a\) e \(a\) é chamado de múltiplo de \(b\).

2
Divisibilidade por 2
Números pares
Todo número par é divisível por 2 — quando o último dígito é 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos

\(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ \ldots\)
138 → último dígito 8 → divisível ✓
475 → último dígito 5 → não divisível ✗
3
Divisibilidade por 3
Soma dos algarismos
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for múltipla de 3.

Exemplos

\(132 \Rightarrow 1+3+2 = \)6 → múltiplo de 3 ✓
\(531 \Rightarrow 5+3+1 = \)9 → múltiplo de 3 ✓
\(124 \Rightarrow 1+2+4 = \)7 → não múltiplo de 3 ✗
4
Divisibilidade por 4
Dois últimos dígitos
Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos 2 últimos dígitos é divisível por 4.

Exemplos

524 → 24 é múltiplo de 4 ✓
1336 → 36 é múltiplo de 4 ✓
514 → 14 não é múltiplo de 4 ✗
5
Divisibilidade por 5
Último dígito 0 ou 5
Um número é divisível por 5 quando o último dígito é igual a 0 ou 5.

Exemplos

325 → termina em 5 ✓
140 → termina em 0 ✓
783 → termina em 3 ✗
6
Divisibilidade por 6
Divisível por 2 e por 3
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 (número par) e por 3 (soma dos algarismos múltipla de 3) simultaneamente.

Exemplos

\(654 \Rightarrow 6+5+4=\)15 (mult. de 3) e par ✓
\(312 \Rightarrow 3+1+2=\)6 (mult. de 3) e par ✓
125 → ímpar → não divisível por 6 ✗
7
Divisibilidade por 7
Regra do duplo
Multiplique o último dígito por 2 e subtraia do número restante (sem o último dígito). Repita o processo até que o resultado seja visivelmente divisível ou não por 7.

Exemplos

161 \(\Rightarrow 1 \cdot 2 = 2 \Rightarrow 16 - 2 = \)14 → múltiplo de 7 ✓
1099 \(\Rightarrow 9 \cdot 2 = 18 \Rightarrow 109 - 18 = 91\)
→ repete com 91:  91 \(\Rightarrow 1 \cdot 2 = 2 \Rightarrow 9 - 2 = \)7 → múltiplo de 7 ✓
8
Divisibilidade por 8
Três últimos dígitos
Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos 3 últimos dígitos é divisível por 8.

Exemplos

7128 → 128 é múltiplo de 8 ✓
5256 → 256 é múltiplo de 8 ✓
3100 → 100 não é múltiplo de 8 ✗
9
Divisibilidade por 9
Soma dos algarismos
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for múltipla de 9.

Exemplos

\(432 \Rightarrow 4+3+2 = \)9 → múltiplo de 9 ✓
\(6561 \Rightarrow 6+5+6+1 = \)18 → múltiplo de 9 ✓
\(124 \Rightarrow 1+2+4 = \)7 → não múltiplo de 9 ✗
10
Divisibilidade por 10
Último dígito 0
Um número é divisível por 10 quando o último dígito é 0.

Como \(10 = 2 \times 5\), ser divisível por 10 equivale a ser divisível por 2 e por 5 ao mesmo tempo — ou seja, terminar em 0 (condição que satisfaz ambas as regras simultaneamente).

Exemplos

150 → termina em 0 ✓
4870 → termina em 0 ✓
325 → termina em 5, divisível por 5 mas não por 10 ✗
11
Divisibilidade por 11
Soma alternada dos algarismos
Um número é divisível por 11 quando a soma alternada dos seus algarismos (subtraindo e somando da esquerda para a direita) for múltipla de 11 (incluindo zero).

Percorra os algarismos da esquerda para a direita alternando os sinais \(+\) e \(-\), começando com \(+\). Se o resultado for \(0\) ou múltiplo de \(11\), o número é divisível por 11.

Exemplos

\(253 \Rightarrow +2-5+3 = \)0 → múltiplo de 11 ✓
\(1452 \Rightarrow +1-4+5-2 = \)0 → múltiplo de 11 ✓
\(123 \Rightarrow +1-2+3 = \)2 → não múltiplo de 11 ✗
Div
Divisores de um Número
Como encontrar todos os divisores naturais

Para encontrar todos os divisores de um número, decomponha-o em fatores primos e aplique o método abaixo. A ideia é: para cada fator primo da decomposição, multiplique todos os divisores já encontrados por esse fator e acrescente os resultados novos à lista.

Exemplo — divisores de 60

Passo 1 — Decompor 60 em fatores primos:

602
302
153
55
1

Portanto \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\).

Passo 2 — Acrescente uma coluna à direita e inicie a lista de divisores com 1:

  1
602
302
153
55
1 

Passo 3 — Multiplique a lista pelo primeiro fator (2): \(2 \cdot 1 = 2\). Acrescente 2:

  1
6022
302
153
55
1 

Passo 4 — Segundo fator (2): multiplique toda a lista atual \(\{1, 2\}\) por 2 → \(2{\cdot}1=2\) (já existe), \(2{\cdot}2=4\). Acrescente 4:

  1
6022
3024
153
55
1 

Passo 5 — Fator 3: multiplique toda a lista \(\{1, 2, 4\}\) por 3 → \(3{\cdot}1=3\), \(3{\cdot}2=6\), \(3{\cdot}4=12\). Acrescente 3, 6, 12:

  1
6022
3024
1533, 6, 12
55
1 

Passo 6 — Fator 5: multiplique toda a lista \(\{1, 2, 4, 3, 6, 12\}\) por 5 → \(5{\cdot}1=5\), \(5{\cdot}2=10\), \(5{\cdot}4=20\), \(5{\cdot}3=15\), \(5{\cdot}6=30\), \(5{\cdot}12=60\). Acrescente 5, 10, 20, 15, 30, 60:

  1
6022
3024
1533, 6, 12
555, 10, 20, 15, 30, 60
1 

Todos os divisores de 60

1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

Atalho — quantidade de divisores

Não é preciso listar todos os divisores para saber quantos existem. Se \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots\), o total de divisores é:

\(d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots\)
\(60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \Rightarrow d(60) = \\ (2{+}1)(1{+}1)(1{+}1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = \)12 divisores
\(36 = 2^2 \cdot 3^2 \Rightarrow d(36) = \\ (2{+}1)(2{+}1) = 3 \cdot 3 = \)9 divisores